Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

46 Kapitel 2. Lineare Algebra II
Beispiel 2.1.2 Wir betrachten nun die Abbildung f : R 2 → R 2 , die einen
Vektor ⃗x um den Winkel θ dreht. Um eine Beschreibung für f 1 (x, y) und
f 2 (x, y) abzuleiten, betrachten wir eine Drehung um einen positiven Winkel
θ. Es sei ϕ der Winkel zwischen dem Vektor ⃗x und der positiven x-Achse und
r die Länge von ⃗x.
y
✻
f(⃗x)
✟✁ ✁✁✁✁✁✕ θ
✟✟✟✟✟✯ ϕ
⃗x
✲
x
Dann gilt
und
f(⃗x) =
( ) x
⃗x = =
y
(
f1 (x, y)
f 2 (x, y)
)
=
( r cos ϕ
r sin ϕ
)
( r cos(ϕ + θ)
r sin(ϕ + θ)
Durch Anwendung der Additionstheoreme von sin und cos ergibt sich hieraus
und schließlich
f 1 (x, y) = r cos ϕ cos θ − r sin ϕ sin θ
f 2 (x, y) = r cos ϕ sin θ + r sin ϕ cos θ,
f 1 (x, y) = (cos θ)x − (sin θ)y
f 2 (x, y) = (sin θ)x + (cos θ)y.
In Matrizenschreibweise lautet dies
( ) ( ) (
f1 (x, y) cos θ − sin θ x
=
f 2 (x, y) sin θ cos θ y
Beispiel 2.1.3 Nun betrachten wir auch Abbildungen des Raumes. Es sei
f : R 3 → R 3 eine Drehung um die x-Achse um den Winkel θ. Wie im vorigen
Beispiel leitet man her, dass diese Abbildung durch die folgende Vorschrift
gegeben wird:
⎛
⎝
f 1 (x, y, z)
f 2 (x, y, z)
f 3 (x, y, z)
⎞
⎛
⎠ = ⎝
1 0 0
0 cos θ − sin θ
0 sin θ cos θ
⎞ ⎛
⎠ ⎝
)
.
)
.
x
y
z
⎞
⎠ .