Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

Kapitel 2
Lineare Algebra II
2.1 Lineare Abbildungen
Definition Eine Abbildung f : R n → R m ist eine Vorschrift, die jedem
Vektor ⃗x ∈ R n einen eindeutig bestimmten Vektor ⃗y = f(⃗x) ∈ R m zuordnet 1 .
Eine Abbildung f : R n → R m heißt linear, wenn gilt:
(L1) f(⃗x + ⃗x ′ ) = f(⃗x) + f(⃗x ′ ) für alle ⃗x, ⃗x ′ ∈ R n .
(L2) f(λ⃗x) = λf(⃗x) für alle λ ∈ R, ⃗x ∈ R n .
Beispiel 2.1.1 Es sei f : R 2 → R 2 die Abbildung, die jedem Vektor ⃗x ∈ R 2
sein Spiegelbild bezüglich der y-Achse zuordnet.
y ✻
❅■
❅
❅
f(⃗x)
❅
❅
✒
⃗x
❅
✲
x
Das Bild f(⃗x) ist wieder ein Vektor. Wir bezeichnen die Komponenten dieses
Vektors mit f 1 (⃗x) und f 2 (⃗x). Es gilt
( ) ( ) ( )
f1 (⃗x) f1 (x, y) −x
=
= .
f 2 (⃗x) f 2 (x, y) y
Dies können wir auch so ausdrücken:
( ) (
f1 (x, y) −1 0
=
f 2 (x, y) 0 1
) ( x
y
)
.
1 Statt f(⃗x) = f((x 1 , . . . , x n )) schreiben wir auch f(x 1 , . . . , x n ).
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