Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...
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44 Kapitel 1. Lineare Algebra I Die Vorzeichen in Satz 1.10.2 sind gemäß eines Schachbrettmusters verteilt: ⎛ ⎞ + − + − · · · − + − + · · · + − + − · · · . ⎜ ⎝ − + − + · · · ⎟ ⎠ . . . . . .. Wir betrachten nun Anwendungen von Determinanten auf lineare Gleichungssysteme. Satz 1.10.3 Ist A eine n × n-Matrix und ⃗ b ∈ R n , so sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) A⃗x = ⃗ b besitzt genau eine Lösung. (b) Die Spalten von A sind linear unabhängig. (c) Der Rang von A ist n. (d) A ist invertierbar. (e) det A ≠ 0. Beispiel 1.10.3 Ein Anwendungsbeispiel: Aufgabe: Bilden die Vektoren ⎛ 0 ⎞ ⎛ ⎞ 2 ⃗a 1 := ⎝ −1 ⎠ , ⃗a 2 := ⎝ 0 ⎠ , ⃗a 3 := 0 0 eine Basis des R 3 ? Lösung: Die Antwort ist ja: Es sei ⎛ A := ⎝ 0 2 5 −1 0 −7 0 0 3 Dann gilt det A = 6 ≠ 0. Nach Satz 1.10.3(b) sind ⃗a 1 ,⃗a 2 ,⃗a 3 linear unabhängig. Es gilt Spann(⃗a 1 ,⃗a 2 ,⃗a 3 ) = R 3 , denn für jeden Vektor ⃗ b ∈ R 3 hat nach Satz 1.10.3(a) das lineare Gleichungssystem eine Lösung. ⎞ ⎠ . x 1 ⃗a 1 + x 2 ⃗a 2 + x 3 ⃗a 3 = A⃗x = ⃗ b ⎛ ⎝ 5 −7 3 ⎞ ⎠
Kapitel 2 Lineare Algebra II 2.1 Lineare Abbildungen Definition Eine Abbildung f : R n → R m ist eine Vorschrift, die jedem Vektor ⃗x ∈ R n einen eindeutig bestimmten Vektor ⃗y = f(⃗x) ∈ R m zuordnet 1 . Eine Abbildung f : R n → R m heißt linear, wenn gilt: (L1) f(⃗x + ⃗x ′ ) = f(⃗x) + f(⃗x ′ ) für alle ⃗x, ⃗x ′ ∈ R n . (L2) f(λ⃗x) = λf(⃗x) für alle λ ∈ R, ⃗x ∈ R n . Beispiel 2.1.1 Es sei f : R 2 → R 2 die Abbildung, die jedem Vektor ⃗x ∈ R 2 sein Spiegelbild bezüglich der y-Achse zuordnet. y ✻ ❅■ ❅ ❅ f(⃗x) ❅ ❅ ✒ ⃗x ❅ ✲ x Das Bild f(⃗x) ist wieder ein Vektor. Wir bezeichnen die Komponenten dieses Vektors mit f 1 (⃗x) und f 2 (⃗x). Es gilt ( ) ( ) ( ) f1 (⃗x) f1 (x, y) −x = = . f 2 (⃗x) f 2 (x, y) y Dies können wir auch so ausdrücken: ( ) ( f1 (x, y) −1 0 = f 2 (x, y) 0 1 ) ( x y ) . 1 Statt f(⃗x) = f((x 1 , . . . , x n )) schreiben wir auch f(x 1 , . . . , x n ). 45
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44 Kapitel 1. Lineare Algebra I<br />
Die Vorzeichen in Satz 1.10.2 sind gemäß eines Schachbrettmusters verteilt:<br />
⎛<br />
⎞<br />
+ − + − · · ·<br />
− + − + · · ·<br />
+ − + − · · ·<br />
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⎜<br />
⎝ − + − + · · · ⎟<br />
⎠<br />
.<br />
. . . . ..<br />
Wir betrachten nun Anwendungen von Determinanten auf lineare Gleichungssysteme.<br />
Satz 1.10.3 Ist A eine n × n-Matrix und ⃗ b ∈ R n , so sind die folgenden<br />
Aussagen äquivalent:<br />
(a) A⃗x = ⃗ b besitzt genau eine Lösung.<br />
(b) Die Spalten von A sind linear unabhängig.<br />
(c) Der Rang von A ist n.<br />
(d) A ist invertierbar.<br />
(e) det A ≠ 0.<br />
Beispiel 1.10.3 Ein Anwendungsbeispiel:<br />
Aufgabe: Bilden die Vektoren<br />
⎛<br />
0<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
2<br />
⃗a 1 := ⎝ −1 ⎠ , ⃗a 2 := ⎝ 0 ⎠ , ⃗a 3 :=<br />
0<br />
0<br />
eine Basis des R 3 ?<br />
Lösung: Die Antwort ist ja: Es sei<br />
⎛<br />
A := ⎝<br />
0 2 5<br />
−1 0 −7<br />
0 0 3<br />
Dann gilt det A = 6 ≠ 0. Nach Satz 1.10.3(b) sind ⃗a 1 ,⃗a 2 ,⃗a 3 linear unabhängig.<br />
Es gilt Spann(⃗a 1 ,⃗a 2 ,⃗a 3 ) = R 3 , denn für jeden Vektor ⃗ b ∈ R 3 hat<br />
nach Satz 1.10.3(a) das lineare Gleichungssystem<br />
eine Lösung.<br />
⎞<br />
⎠ .<br />
x 1 ⃗a 1 + x 2 ⃗a 2 + x 3 ⃗a 3 = A⃗x = ⃗ b<br />
⎛<br />
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5<br />
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⎞<br />
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