Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

1.10 Determinanten 43
(a) Ist B die Matrix, die aus A durch Vertauschung zweier Zeilen
(oder Spalten) entsteht, so ist det B = − det A.
(b) Kommt in A eine Zeile (oder Spalte) doppelt vor, so gilt det A = 0.
3. Änderung bei elementaren Zeilenumformungen: Ist B die Matrix, die
aus A durch Addition eines Vielfachen einer Zeile (oder Spalte) zu einer
anderen entsteht, so gilt det B = det A.
4. Symmetrie
5. Für λ ∈ R gilt
det A T = det A.
det(λA) = λ n det A.
6. Multiplikationssatz Für zwei n × n-Matrizen A und B gilt:
det(AB) = det A det B.
7. Invertierbarkeitstest A ist genau dann invertierbar, wenn det A ≠ 0
gilt. In diesem Fall gilt
det(A −1 ) = 1
det A .
8. Kästchensatz Hat A die Gestalt
( ) ( B C
B 0
A =
bzw. A =
0 D
C D
)
mit quadratischen Kästchen B und D, so gilt
det A = (det B)(det D).
Satz 1.10.2 (Laplacescher Entwicklungssatz) Es sei A eine n×n-Matrix,
1 ≤ k ≤ n. Dann gilt
und
det A =
det A =
n∑
(−1) i+k a ik det A ik
i=1
n∑
(−1) k+j a kj det A kj
j=1
(Entwicklung nach der k-ten Spalte)
(Entwicklung nach der k-ten Zeile).