Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

42 Kapitel 1. Lineare Algebra I
Beispiel 1.10.1 Die Determinante der Matrix
⎛
1 0
⎞
−2
A := ⎝ 3 −1 1 ⎠
−2 1 −2
lautet
det A = 2 + 0 + (−6) − (−4) − 1 − 0 = −1.
Warnung Die Regel von Sarrus funktioniert nur für 3 × 3-Matrizen, nicht
für größere Matrizen!
Beispiel 1.10.2 Die Determinante der Matrix
⎛
⎞
0 −1 1 2
A = ⎜ 1 0 2 −1
⎟
⎝ −1 1 1 0 ⎠
0 −1 0 1
ist:
det A = −
∣
−1 1 2
1 1 0
−1 0 1
∣ ∣∣∣∣∣ −1 1 2
∣ − 0 2 −1
−1 0 1
∣ = 0 − 3 = −3.
Satz 1.10.1 (Rechenregeln für Determinanten) Es sei A eine n × n-
Matrix.
1. det ist linear in jeder Zeile (oder Spalte), d.h. es gilt
(a) Ist B die Matrix, die durch Multiplikation einer Zeile (oder Spalte)
von A mit einer Konstanten λ entsteht, so ist det B = λ det A.
(b) Es seien ⃗a 1 , . . . , ⃗a n die Zeilenvektoren von A und ⃗ b ∈ R n (als
Zeilenvektor aufgefasst). Dann gilt
⎛
det
⎜
⎝
⃗a 1
.
⃗a k + ⃗ b
.
⃗a n
⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⃗a 1
⃗a 1
.
.
= det
⃗a k
+ det
⃗ ḅ .
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ . ⎠ ⎝ . ⎠
⃗a n ⃗a n
(Eine entsprechende Aussage gilt auch für Spaltenvektoren.)
2. det ist alternierend, d.h.