Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

1.10 Determinanten 41
Definition Es sei A eine n×n-Matrix. Die Matrix A ij entstehe aus A durch
Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A, d.h.
⎛
⎞
a 11 · · · a 1,j−1 a 1j a 1,j+1 · · · a 1n
.
. . .
.
a i−1,1 · · · a i−1,j−1 a i−1,j a i−1,j+1 · · · a i−1,n
A ij =
a i1 · · · a i,j−1 a ij a i,j+1 · · · a in
a
⎜ i+1,1 · · · a i+1,j−1 a i+1,j a i+1,j+1 · · · a i+1,n
⎟
⎝ .
. . .
. ⎠
a n1 · · · a n,j−1 a nj a n,j+1 · · · a nn
Definition Es sei A eine n × n-Matrix.
n = 1: Ist A = (a 11 ), so sei det A = a 11 .
n = 2: Ist
( )
a11 a
A =
12
,
a 21 a 22
so sei
n = 3: Ist
so sei
det A = a 11 a 22 − a 21 a 12 .
⎛
A = ⎝
⎞
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
⎠ ,
a 31 a 32 a 33
det A = a 11 det A 11 − a 21 det A 21 + a 31 det A 31 .
n → n + 1: Ist det B für jede n × n-Matrix B bereits definiert, so sei für eine
(n + 1) × (n + 1)-Matrix A
∑n+1
det A = (−1) i+1 a i1 det A i1
i=1
Für det A ist auch die Notation |A| üblich.
(Entwicklung nach der ersten Spalte)
Die Berechnung der Determinante einer 3 × 3-Matrix merkt man sich mit
Hilfe der folgenden Regel:
Regel von Sarrus: Man schreibe die ersten beiden Spalten der Matrix noch
einmal hinter die Matrix und multipliziere entlang der angedeuteten Pfeile,
wobei die elementaren Produkte längs der nach oben gerichteten Pfeile mit
dem Vorzeichen − zu versehen sind:
⎛
⎞
❍a 11 a 12 a 13 a 11 a 12
⎝ ❍❍❍❍❍❍❍❥
❍ ❍❍❍❍❍❍❍❥
❍ ❍❍❍❍❍❍❍❥
a 21 a 22 a 23
⎠ a 21 a 22
✟a ✟✟✟✟✟✟✟✯
31 a✟ ✟✟✟✟✟✟✟✯
32 a✟ ✟✟✟✟✟✟✟✯
33 a 31 a 32