Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...
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40 Kapitel 1. Lineare Algebra I ⎛ A = ⎝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ⎞ ⎛ ⎠ , A T = ⎝ 1 4 7 2 5 8 3 6 9 Satz 1.9.5 (Rechenregeln für die transponierte Matrix) Es seien alle Matrizen so gewählt, dass die Operationen definiert sind. Dann gelten die folgenden Rechenregeln (a) (A + B) T = A T + B T . (b) (λA) T = λA T für jedes λ ∈ R. (c) (A T ) T = A. (d) (AB) T = B T A T . (e) Mit A ist auch A T invertierbar und es gilt (A T ) −1 = (A −1 ) T . Beweis. Die Aussagen (a)-(c) sind leicht nachzurechnen. (d) Es sei A = (a ij ) eine m × r-Matrix und B = (b ij ) eine r × n-Matrix. Dann gilt AB = (c ij ) mit c ij = r∑ a ik b kj , k=1 ⎞ ⎠ . also Auf der anderen Seite gilt r∑ (AB) T = (c ji ) = ( a jk b ki ). k=1 r∑ B T A T = (d ij ) mit d ij = b ki a jk , k=1 also (AB) T = B T A T . (e) Es gilt nach (d) A T (A −1 ) T = (A −1 A) T = E T = E, (A −1 ) T A T = (AA −1 ) T = E T = E. Daraus folgt die Behauptung. ✷ 1.10 Determinanten In §1.4 haben wir bereits Determinanten von 2 × 2- und 3 × 3-Matrizen betrachtet. Wir wollen nun die Definition der Determinante einer n × n- Matrix geben.
1.10 Determinanten 41 Definition Es sei A eine n×n-Matrix. Die Matrix A ij entstehe aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A, d.h. ⎛ ⎞ a 11 · · · a 1,j−1 a 1j a 1,j+1 · · · a 1n . . . . . a i−1,1 · · · a i−1,j−1 a i−1,j a i−1,j+1 · · · a i−1,n A ij = a i1 · · · a i,j−1 a ij a i,j+1 · · · a in a ⎜ i+1,1 · · · a i+1,j−1 a i+1,j a i+1,j+1 · · · a i+1,n ⎟ ⎝ . . . . . ⎠ a n1 · · · a n,j−1 a nj a n,j+1 · · · a nn Definition Es sei A eine n × n-Matrix. n = 1: Ist A = (a 11 ), so sei det A = a 11 . n = 2: Ist ( ) a11 a A = 12 , a 21 a 22 so sei n = 3: Ist so sei det A = a 11 a 22 − a 21 a 12 . ⎛ A = ⎝ ⎞ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 ⎠ , a 31 a 32 a 33 det A = a 11 det A 11 − a 21 det A 21 + a 31 det A 31 . n → n + 1: Ist det B für jede n × n-Matrix B bereits definiert, so sei für eine (n + 1) × (n + 1)-Matrix A ∑n+1 det A = (−1) i+1 a i1 det A i1 i=1 Für det A ist auch die Notation |A| üblich. (Entwicklung nach der ersten Spalte) Die Berechnung der Determinante einer 3 × 3-Matrix merkt man sich mit Hilfe der folgenden Regel: Regel von Sarrus: Man schreibe die ersten beiden Spalten der Matrix noch einmal hinter die Matrix und multipliziere entlang der angedeuteten Pfeile, wobei die elementaren Produkte längs der nach oben gerichteten Pfeile mit dem Vorzeichen − zu versehen sind: ⎛ ⎞ ❍a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 ⎝ ❍❍❍❍❍❍❍❥ ❍ ❍❍❍❍❍❍❍❥ ❍ ❍❍❍❍❍❍❍❥ a 21 a 22 a 23 ⎠ a 21 a 22 ✟a ✟✟✟✟✟✟✟✯ 31 a✟ ✟✟✟✟✟✟✟✯ 32 a✟ ✟✟✟✟✟✟✟✯ 33 a 31 a 32
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40 Kapitel 1. Lineare Algebra I<br />
⎛<br />
A = ⎝<br />
1 2 3<br />
4 5 6<br />
7 8 9<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ , A T = ⎝<br />
1 4 7<br />
2 5 8<br />
3 6 9<br />
Satz 1.9.5 (Rechenregeln für die transponierte Matrix) Es seien alle<br />
Matrizen so gewählt, dass die Operationen definiert sind. Dann gelten die<br />
folgenden Rechenregeln<br />
(a) (A + B) T = A T + B T .<br />
(b) (λA) T = λA T für jedes λ ∈ R.<br />
(c) (A T ) T = A.<br />
(d) (AB) T = B T A T .<br />
(e) Mit A ist auch A T invertierbar und es gilt (A T ) −1 = (A −1 ) T .<br />
Beweis. Die Aussagen (a)-(c) sind leicht nachzurechnen.<br />
(d) Es sei A = (a ij ) eine m × r-Matrix und B = (b ij ) eine r × n-Matrix. Dann gilt<br />
AB = (c ij ) mit c ij =<br />
r∑<br />
a ik b kj ,<br />
k=1<br />
⎞<br />
⎠ .<br />
also<br />
Auf der anderen Seite gilt<br />
r∑<br />
(AB) T = (c ji ) = ( a jk b ki ).<br />
k=1<br />
r∑<br />
B T A T = (d ij ) mit d ij = b ki a jk ,<br />
k=1<br />
also (AB) T = B T A T .<br />
(e) Es gilt nach (d)<br />
A T (A −1 ) T = (A −1 A) T = E T = E,<br />
(A −1 ) T A T = (AA −1 ) T = E T = E.<br />
Daraus folgt die Behauptung.<br />
✷<br />
1.10 Determinanten<br />
In §1.4 haben wir bereits Determinanten von 2 × 2- und 3 × 3-Matrizen<br />
betrachtet. Wir wollen nun die Definition der Determinante einer n × n-<br />
Matrix geben.
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