Mathematik fÃ¼r Ingenieure I - Institut fÃ¼r Algebraische Geometrie ...

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38 Kapitel 1. Lineare Algebra I Satz 1.9.3 (a) Für zwei invertierbare n × n-Matrizen A und B ist auch das Produkt AB invertierbar und es gilt (AB) −1 = B −1 A −1 . (b) Mit A ist auch A −1 invertierbar und es gilt (A −1 ) −1 = A. Beweis. (a) Es gilt (AB)(B −1 A −1 ) = A(BB −1 )A −1 = AEA −1 = AA −1 = E. Entsprechend zeigt man (B −1 A −1 )(AB) = E. Daraus folgt, dass AB invertierbar ist und (AB) −1 = B −1 A −1 gilt. (b) Wegen A −1 A = AA −1 = E folgt, dass A −1 invertierbar mit (A −1 ) −1 = A ist. ✷ Satz 1.9.4 Eine n×n-Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn ihr Rang gleich n ist. Berechnung der inversen Matrix Es sei A eine invertierbare n×n-Matrix. Wir betrachten die erweiterte Matrix ⎛ ⎞ 1 0 ⎜ (A|E) = ⎝ . A .. ⎟ ⎠ . 0 1 Zunächst wird diese Matrix durch Vorwärtselimination nach dem Gaußschen Algorithmus in eine Matrix in Zeilenstufenform verwandelt: ⎛ ⎞ • ∗ ∗ · · · ∗ ⎜ ⎝ . .. . . .. ⎟ . ⎠ 0 • ∗ · · · ∗ (Wegen Rang A = n sind alle Diagonalelemente von Null verschieden, vgl. Satz 1.9.4.) Sodann wenden wir Rückwärtselimination (von unten nach oben) im ersten Block an. Ergebnis: ⎛ ⎜ ⎝ • 0 ∗ · · · ∗ . .. . . .. . 0 • ∗ · · · ∗ Auf der Diagonalen im ersten Block stehen von Null verschiedene Zahlen. Durch geeignete Multiplikation der Zeilen mit Skalaren können wir diese Elemente zu 1 machen. Damit erreichen wir: ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 . .. A −1 0 1 ⎞ ⎞ ⎟ ⎠ ⎟ ⎠ = (E|A −1 ).
1.9 Matrizen 39 Beispiel 1.9.6 → → → → → ⎛ ⎝ ⎛ ⎝ ⎛ ⎝ ⎛ ⎝ ⎛ ⎝ ⎛ ⎝ 1 2 3 1 0 0 2 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 ⎞ 1 2 3 1 0 0 0 −3 −6 −2 1 0 0 −2 −1 −1 0 1 1 2 3 1 0 0 0 −3 −6 −2 1 0 1 0 0 3 3 − 2 3 1 2 1 2 0 3 0 −3 0 − 4 − 1 2 3 3 1 0 0 3 − 2 1 3 3 ⎠ −2 × Zeile 1 −Zeile 1 ⎞ 2 −1 3 1 0 0 − 2 4 1 9 9 3 0 −3 0 − 4 − 1 2 3 3 1 0 0 3 − 2 1 3 3 1 0 0 − 2 9 4 0 1 0 9 1 0 0 1 − 2 9 9 4 1 9 3 1 − 2 9 3 1 3 ⎠ − 2 × Zeile 2 3 ⎞ −Zeile 3 ⎠ +2 × Zeile 3 ⎞ ⎞ ⎠ ⎠ × − 1 3 ⎞ ⎠ + 2 3 × Zeile 2 × 1 3 Definition Jeder m × n-Matrix A zugeordnet ist die transponierte Matrix A T , die sich aus A durch Vertauschen von Zeilen und Spalten ergibt, d.h. A T ist die n × m-Matrix, deren i-te Spalte für i = 1, 2, . . . , m die i-te Zeile von A ist: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ a 11 a 12 · · · a 1n a 11 a 21 · · · a m1 a 21 a 22 · · · a 2n A = ⎜ ⎝ . . . .. ⎟ . ⎠ → a 12 a 22 · · · a m2 AT = ⎜ ⎝ . . . .. ⎟ . ⎠ . a m1 a m2 · · · a mn a 1n a 2n · · · a mn Die transponierte Matrix A T an der Hauptdiagonale. entsteht durch eine Spiegelung der Matrix A Beispiel 1.9.7 A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 3 −1 ⎞ ⎟ ⎠ , AT = ( 1 2 3 −1 ) ,
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