Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

38 Kapitel 1. Lineare Algebra I
Satz 1.9.3 (a) Für zwei invertierbare n × n-Matrizen A und B ist auch das
Produkt AB invertierbar und es gilt (AB) −1 = B −1 A −1 .
(b) Mit A ist auch A −1 invertierbar und es gilt (A −1 ) −1 = A.
Beweis.
(a) Es gilt
(AB)(B −1 A −1 ) = A(BB −1 )A −1 = AEA −1 = AA −1 = E.
Entsprechend zeigt man (B −1 A −1 )(AB) = E. Daraus folgt, dass AB invertierbar ist und
(AB) −1 = B −1 A −1 gilt.
(b) Wegen A −1 A = AA −1 = E folgt, dass A −1 invertierbar mit (A −1 ) −1 = A ist. ✷
Satz 1.9.4 Eine n×n-Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn ihr Rang
gleich n ist.
Berechnung der inversen Matrix
Es sei A eine invertierbare n×n-Matrix. Wir betrachten die erweiterte Matrix
⎛
⎞
1 0
⎜
(A|E) = ⎝
.
A ..
⎟
⎠ .
0 1
Zunächst wird diese Matrix durch Vorwärtselimination nach dem Gaußschen
Algorithmus in eine Matrix in Zeilenstufenform verwandelt:
⎛
⎞
• ∗ ∗ · · · ∗
⎜
⎝
. .. . . ..
⎟ . ⎠
0 • ∗ · · · ∗
(Wegen Rang A = n sind alle Diagonalelemente von Null verschieden, vgl.
Satz 1.9.4.) Sodann wenden wir Rückwärtselimination (von unten nach oben)
im ersten Block an. Ergebnis:
⎛
⎜
⎝
• 0 ∗ · · · ∗
. .. . . .. .
0 • ∗ · · · ∗
Auf der Diagonalen im ersten Block stehen von Null verschiedene Zahlen.
Durch geeignete Multiplikation der Zeilen mit Skalaren können wir diese
Elemente zu 1 machen. Damit erreichen wir:
⎛
⎜
⎝
1 0
. .. A
−1
0 1
⎞
⎞
⎟
⎠
⎟
⎠ = (E|A −1 ).