Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

1.9 Matrizen 37
Beispiel 1.9.4 Die Matrix
A :=
( 1 2
0 0
)
ist nicht invertierbar. Denn ist
B =
( )
b11 b 12
b 21 b 22
eine beliebige 2 × 2-Matrix, so gilt
( ) ( ) ( 1 2 b11 b
AB =
12 b11 + 2b
=
21 b 12 + 2b 22
0 0 b 21 b 22 0 0
)
≠ E.
Es ist zunächst ja nicht ausgeschlossen, dass es zu einer Matrix zwei inverse
Matrizen geben kann. Der folgende Satz zeigt, dass das aber nicht möglich
ist.
Satz 1.9.2 Sind B und C inverse Matrizen zu A, so ist B = C.
Beweis. Nach Voraussetzung gilt
AB = BA = E und AC = CA = E.
Also gilt einerseits
und andererseits
Also folgt B = C.
(BA)C = EC = C
(BA)C = B(AC) = BE = B.
✷
Also ist die inverse Matrix zu einer Matrix A eindeutig bestimmt und wir
bezeichnen sie mit A −1 . Es gilt also
AA −1 = A −1 A = E.
Beispiel 1.9.5 Die Matrix
( a b
A =
c d
)
ist für ad − bc ≠ 0 invertierbar und in diesem Fall gilt
( )
A −1 1 d −b
=
.
ad − bc −c a