Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

36 Kapitel 1. Lineare Algebra I
Auf der anderen Seite gilt
s∑
BC = (β kj ) mit β kj = b kl c lj ,
l=1
also
mit
A(BC) = (d ′ ij)
)
r∑
r∑
r∑ s∑
d ′ ij = a ik β kj =
b kl c lj = a ik b kl c lj .
k=1
k=1
a ik
( s∑
l=1
k=1 l=1
✷
Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, wie das folgende Beispiel
zeigt.
Beispiel 1.9.2 Es sei
A :=
( 1 −1
−1 1
) ( 1 1
, B :=
2 2
)
.
Dann gilt
also AB ≠ BA.
AB =
( −1 −1
1 1
) ( 0 0
, BA =
0 0
)
,
Definition Es sei A eine quadratische Matrix. Die Matrix A heißt invertierbar
genau dann, wenn es eine Matrix B mit AB = BA = E gibt. In
diesem Fall heißt B eine inverse Matrix zu A.
Beispiel 1.9.3 Es sei
( −1 −2
A :=
3 5
) ( 5 2
, B :=
−3 −1
)
.
Dann ist A invertierbar und B ist eine inverse Matrix zu A, da
( ) ( ) ( )
−1 −2 5 2 1 0
AB =
= = E
3 5 −3 −1 0 1
und
( 5 2
BA =
−3 −1
) ( −1 −2
3 5
)
=
( 1 0
0 1
)
= E.