Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

1.9 Matrizen 35
Eine besondere Rolle spielen die n × n-Nullmatrix
⎛
⎞
0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
0 = 0 n := ⎜
⎝
.
. . ..
⎟ . ⎠ .
0 0 · · · 0
und die n × n-Einheitsmatrix
⎛
E = E n := ⎜
⎝
1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
. .
.. . .
0 0 · · · 1
⎞
⎟
⎠ .
Satz 1.9.1 (Rechenregeln) Es seien alle Matrizen so gewählt, dass die
Operationen definiert sind. Dann gelten die folgenden Rechenregeln
(a) A + B = B + A (Kommutativgesetz der Addition)
(b) A + (B + C) = (A + B) + C (Assoziativgesetz der Addition)
(c) A + 0 = 0 + A = A (neutrales Element der Addition)
(d) (AB)C = A(BC) (Assoziativgesetz der Multiplikation)
(e) AE = EA = A (neutrales Element der Multiplikation)
(f) A(B + C) = AB + AC (linkes Distributivgesetz)
(g) (A + B)C = AC + BC (rechtes Distributivgesetz)
Beweis. Alle Aussagen betreffen die Gleichheit von Matrizen und werden bewiesen, indem
man beide Seiten ausrechnet und zeigt, dass die einander entsprechenden Einträge
übereinstimmen. Wir führen dies nur für die Aussage (d) vor.
Es sei A = (a ij ) eine m × r-Matrix, B = (b ij ) eine r × s-Matrix und C = (c ij ) eine
s × n-Matrix. Es gilt
r∑
AB = (α il ) mit α il = a ik b kl ,
also
mit
d ij =
s∑
α il c lj =
l=1
s∑
(AB)C = (d ij )
l=1
( r∑
k=1
k=1
a ik b kl
)
c lj =
r∑
k=1 l=1
s∑
a ik b kl c lj .