Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

34 Kapitel 1. Lineare Algebra I
Das Produkt AB einer m×r-Matrix A = (a ij ) mit einer r×n-Matrix B = (b ij )
ist definiert durch
⎛
⎞
⎛
⎞ · · · b 1j · · ·
. . .
⎜
⎟
· · · b 2j · · ·
AB = ⎝ a i1 a i2 · · · a ir ⎠ ⎜
⎟
⎝ . ⎠
. . . · · · b rj · · ·
⎛
⎞
.
⎜
⎟
= ⎝ · · · a i1 b 1j + a i2 b 2j + · · · + a ir b rj · · · ⎠
Das bedeutet,
AB = C = (c ij )
und c ij erhält man, indem man paarweise die Einträge der i-ten Zeile von
A und der j-ten Spalte von B multipliziert und die entstehenden Produkte
addiert, also
c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + · · · + a ir b rj .
Sind a 1 , a 2 , . . . a n beliebige Zahlen, so schreibt man abkürzend für die Summe
dieser Zahlen
n∑
a k := a 1 + a 2 + · · · + a n .
k=1
Also können wir abkürzend schreiben
r∑
c ij = a ik b kj .
k=1
Die neue Matrix C ist eine m × n-Matrix. Man merke sich: AB ist nur
erklärt, wenn die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B ist. Es gilt
die folgende Merkregel:
m × r mal r × n ergibt m × n.
Die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor ist der Spezialfall r = 1.
Beispiel 1.9.1
⎛
⎝
1 5 0 −1
0 3 2 0
−4 0 1 −1
⎛
⎞
⎠ ⎜
⎝
.
2 −1
0 3
−4 1
1 0
⎞
⎛
⎟
⎠ = ⎝
1 14
−8 11
−13 5
⎞
⎠ .