Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

32 Kapitel 1. Lineare Algebra I
Beispiel 1.8.2 Die Vektoren
⎛ ⎞ ⎛
1
⃗e 1 = ⎜ ⎟
⎝
0. ⎠ , . . . , ⃗e n = ⎜
⎝
0
bilden eine Basis (⃗e 1 , . . . , ⃗e n ) des R n . Diese Basis heißt Standardbasis des R n .
Beispiel 1.8.3 Wir betrachten wieder das lineare Gleichungssystem A⃗x = ⃗ b
aus Beispiel 1.7.3. Setze
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
2
− 31 2
1
⃗v 1 :=
⎜ 0
⎟
⎝ 0 ⎠ , ⃗v 0
2 :=
1
⎜ 2 ⎟
⎝ 3 ⎠ .
0
1
Die Vektoren ⃗v 1 und ⃗v 2 sind linear unabhängig und sind Lösungen des homogenen
Gleichungssystems A⃗x = ⃗0. Es gilt
L(A|⃗0) = Spann(⃗v 1 , ⃗v 2 )
und (⃗v 1 , ⃗v 2 ) ist eine Basis von L(A|⃗0).
Satz 1.8.3 (Allgemeines Lösungsprinzip von LGS) (a) Die Lösungen
⃗x h des homogenen linearen Gleichungssystems A⃗x = ⃗0 bilden einen Unterraum
L(A|⃗0) des R n . Ist (⃗v 1 , . . . , ⃗v k ) eine Basis dieses Unterraums,
so lautet die allgemeine Lösung des homogenen Systems
0.
0
1
⎞
⎟
⎠
⃗x h = λ 1 ⃗v 1 + . . . + λ k ⃗v k , λ j ∈ R.
(b) Ist ⃗x s eine Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems A⃗x = ⃗ b
(spezielle Lösung), so lautet die allgemeine Lösung des inhomogenen
Systems:
⃗x = ⃗x s + ⃗x h = ⃗x s + λ 1 ⃗v 1 + . . . + λ k ⃗v k .
Je zwei Basen eines Unterraums U des R n haben gleich viele Elemente.
Definition Die Anzahl der Elemente einer Basis von U heißt die Dimension
von U, in Zeichen dim U.
Satz 1.8.4 (Dimensionsformel) Für jede m × n-Matrix A gilt:
dim L(A|⃗0) = n − Rang A.