Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

1.8 Basis und Dimension 31
Definition Die Vektoren ⃗a 1 , . . . ,⃗a k ∈ R n heißen linear unabhängig, falls für
alle reellen Zahlen x 1 , . . . , x k ∈ R gilt:
x 1 ⃗a 1 + . . . + x k ⃗a k = 0 ⇒ x 1 = · · · = x k = 0.
Das bedeutet also: Ist
⎛ ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
a 1i
a 11 · · · a 1k
x 1
⎜ ⎟ ⎜
⃗a i = ⎝ . ⎠ , A = ⎝
.
. ..
⎟ ⎜ ⎟
. ⎠ , ⃗x = ⎝ . ⎠ ,
a ni a n1 · · · a nk x k
so hat das lineare Gleichungssystem A⃗x = ⃗0 nur die triviale Lösung ⃗x = ⃗0.
Sind ⃗a 1 , . . . ,⃗a k ∈ R n nicht linear unabhängig, so heißen sie linear abhängig.
Definition Ein Vektor ⃗x ∈ R n ist eine Linearkombination der Vektoren
⃗a 1 , . . . ,⃗a k ∈ R n , falls reelle Zahlen λ 1 , . . . , λ k existieren mit
⃗x = λ 1 ⃗a 1 + . . . + λ k ⃗a k .
Die Menge aller Linearkombinationen von ⃗a 1 , . . . ,⃗a k
Spann(⃗a 1 , . . . ,⃗a k ) := {λ 1 ⃗a 1 + . . . + λ k ⃗a k | λ 1 , . . . , λ k ∈ R}
heißt der Spann (oder die lineare Hülle) von ⃗a 1 , . . . ,⃗a k .
Satz 1.8.1 Der Spann Spann(⃗a 1 , . . . ,⃗a k ) von Vektoren ⃗a 1 , . . . ,⃗a k ∈ R n ist
ein Unterraum von R n .
Definition Es sei U ein Unterraum des R n , ⃗ b 1 , . . . , ⃗ b k ∈ U. Dann heißt
( ⃗ b 1 , . . . , ⃗ b k ) Basis von U, falls folgendes gilt:
(B1) ⃗ b 1 , . . . , ⃗ b k sind linear unabhängig.
(B2) U = Spann( ⃗ b 1 , . . . , ⃗ b k ).
Eine Basis hat folgende fundamentale Eigenschaft:
Satz 1.8.2 Ist ( ⃗ b 1 , . . . , ⃗ b k ) eine Basis des Unterraums U ⊆ R n , so lässt sich
jeder Vektor ⃗x ∈ U in eindeutiger Weise als Linearkombination der ⃗ b i schreiben,
d.h. zu ⃗x ∈ U gibt es eindeutig bestimmte Zahlen λ 1 , . . . , λ k ∈ R mit
⃗x = λ 1
⃗ b1 + . . . + λ k
⃗ bk .