Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

1.7 Lineare Gleichungssysteme 29
Allgemein:
– Die zu Spalten ohne •-Stelle gehörenden Unbekannten sind die freien
Variablen, sie werden der Reihe nach gleich λ 1 , λ 2 , . . . , λ n−r gesetzt.
– Gleichungssystem nach den zu •-Stellen gehörenden abhängigen Variablen
auflösen und der Reihe nach (von unten nach oben) diese Variablen
in Abhängigkeit von λ 1 , . . . , λ n−r berechnen.
Definition Das lineare Gleichungssystem A⃗x = ⃗ b heißt homogen, wenn
⃗ b = ⃗0 ist, andernfalls inhomogen.
Definition Die Zahl r bezeichnen wir als den Rang der Matrix A.
Satz 1.7.1 (a) Das lineare Gleichungssystem A⃗x = ⃗ b besitzt genau dann
eine Lösung, wenn gilt
Rang (A| ⃗ b) = Rang A.
(b) Das homogene lineare Gleichungssystem A⃗x = ⃗0 hat genau dann nur
⃗x = ⃗0 (triviale Lösung) als einzige Lösung, wenn Rang A = n gilt (n
= Anzahl der Unbekannten).
(c) Ist die Anzahl der Gleichungen kleiner als die Anzahl der Unbekannten
(m < n), dann besitzt A⃗x = ⃗0 stets nichttriviale Lösungen.
(d) Gilt m = n, so ist das inhomogene lineare Gleichungssystem A⃗x = ⃗ b
genau dann eindeutig lösbar, wenn Rang A = n gilt.
Beispiel 1.7.4 Gegeben seien die Ebenen
E 1 = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 | x 1 + x 2 + x 3 = −2},
E 2 = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 | x 1 − x 2 + 2x 3 = −4}.
Aufgabe: Bestimmen Sie den Durchschnitt der beiden Ebenen!
Lösung: Zu lösen ist das lineare Gleichungssystem
Eine Umformung ergibt
( 1 1 1
1 −1 2
) ⎛ ⎝
⎞
x 1
(
x 2
⎠ −2
=
−4
x 3
( 1 1 1 −2
)
)
.
→
1 −1 2 −4
( )
1 1 1 −2
0 −2 1 −2