Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

28 Kapitel 1. Lineare Algebra I
Beispiel 1.7.3 Das Gleichungssystem
⎛
lautet explizit:
⎜
⎝
1 −2 3 4 2 2
0 0 2 −1 2 1
0 0 0 2 −6 −2
0 0 0 0 0 0
⎞
⎟
⎠
x 1 −2x 2 +3x 3 +4x 4 +2x 5 = 2
2x 3 −x 4 +2x 5 = 1
2x 4 −6x 5 = −2
Es beschreibt die Abhängigkeit der zu den •-Stellen gehörigen Variablen x 1 ,
x 3 , x 4 (abhängige Variable) von x 2 , x 5 (unabhängige Variable oder freie Parameter).
Setze
x 2 = λ 1 , x 5 = λ 2 (λ 1 , λ 2 ∈ R variabel)
und bringe die freien Variablen auf die rechte Seite:
x 1 + 3x 3 + 4x 4 = 2 + 2λ 1 − 2λ 2
2x 3 − x 4 = 1 − 2λ 2
2x 4 = −2 + 6λ 2
Daraus berechne man (von unten nach oben, daher Rückwärtssubstitution)
der Reihe nach x 4 , x 3 , x 1 in Abhängigkeit von λ 1 , λ 2 :
x 4 = −1 + 3λ 2 ,
x 3 = 1 2 x 4 + 1 2 − λ 2 = 1 2 λ 2,
x 1 = −3x 3 − 4x 4 + 2 + 2λ 1 − 2λ 2
= − 3 2 λ 2 + 4 − 12λ 2 + 2 + 2λ 1 − 2λ 2
= 6 + 2λ 1 − 31
2 λ 2.
Damit sieht die allgemeine Lösung wie folgt aus:
⎛ ⎞ ⎛
x 1 6 + 2λ 1 − 31 x 2
λ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛
2 2 6
⎜ x 3
⎟
⎝ x 4
⎠ = λ 1
1
⎜ 2
⎝
λ 2 ⎟
−1 + 3λ 2
⎠ = 0
⎜ 0
⎟
⎝ −1 ⎠ + λ 1 ⎜
⎝
x 5 λ 2
0
2
1
0
0
0
⎞
⎛
⎟
⎠ + λ 2 ⎜
⎝
− 31 2
0
1
2
3
1
⎞
⎟
⎠