Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

1.7 Lineare Gleichungssysteme 27
Beispiel 1.7.1
(A| ⃗ b) =
→
→
→
→
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
0 0 2 −1 2 1
1 −2 3 4 2 2
2 −4 8 9 0 3
−1 2 −5 −6 5 4
1 −2 3 4 2 2
0 0 2 −1 2 1
2 −4 8 9 0 3
−1 2 −5 −6 5 4
⎞
⎟
⎠
⎞
1 −2 3 4 2 2
0 0 2 −1 2 1
0 0 2 1 −4 −1
0 0 −2 −2 7 6
1 −2 3 4 2 2
0 0 2 −1 2 1
0 0 0 2 −6 −2
0 0 0 −3 9 7
1 −2 3 4 2 2
0 0 2 −1 2 1
0 0 0 2 −6 −2
0 0 0 0 0 4
Zeile 1
und Zeile 2
vertauschen
⎟
⎠ −2 × Zeile 1
+Zeile 1
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠ − Zeile 2
+Zeile 2
+ 3 2 × Zeile 3
II. Lösbarkeitsentscheidung
(entfällt für ⃗ b = ⃗0) Ist eine der Zahlen ˜b r+1 , . . . , ˜b m von Null verschieden,
etwa nach Zeilenvertauschung ˜b r+1 ≠ 0, dann ist das Gleichungssystem nicht
lösbar. Denn die (r + 1)-te Gleichung ergibt den Widerspruch
0x 1 + . . . + 0x n = ˜b r+1 ≠ 0.
Beispiel 1.7.2 Das angebene Gleichungssystem ist nicht lösbar. Ersetzen
wir allerdings b 4 = 4 durch b 4 = 0, so ist das Gleichungssystem lösbar.
⎛
⎞ ⎛
⎞
0 0 2 −1 2 1 1 −2 3 4 2 2
⎜ 1 −2 3 4 2 2
⎟
⎝ 2 −4 8 9 0 3 ⎠ → ⎜ 0 0 2 −1 2 1
⎟
⎝ 0 0 0 2 −6 −2 ⎠
−1 2 −5 −6 5 0 0 0 0 0 0 0
III. Rückwärtssubstitution
Dazu betrachten wir zunächst wieder das