Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...
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26 Kapitel 1. Lineare Algebra I I. Vorwärtselimination 1. Eliminationsschritt Ist a 11 ≠ 0? Wenn nein: Suche in der 1. Spalte von A ein Element a k1 ≠ 0 und vertausche die k-te Zeile mit der ersten. (Sind alle Elemente der 1. Spalte gleich 0, so beginne man statt mit der ersten Spalte mit der ersten anderen Spalte, die nicht nur lauter Nullen enthält.) Wenn ja: Subtrahiere das a i1 a 11 -fache der 1. Zeile von der i-ten Zeile (i = 2, . . . , m) Ergebnis: ⎛ ⎜ ⎝ 0 · · · 0 • ∗ · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗ 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ∗ · · · ∗ ∗ . . .. . . . . .. . . . .. . . 0 · · · 0 0 0 · · · 0 ∗ · · · ∗ ∗ ⎞ ⎟ ⎠ • ̸= 0 ∗ = beliebig 2. Eliminationsschritt Wende das gleiche Verfahren auf die eingezeichnete Restmatrix an. usw. . Verfahren bricht ab, wenn folgende Matrix erreicht ist (Zeilenstufenform): ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ 0 · · · 0 • ∗ · · · ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ˜b1 0 · · · 0 0 0 · · · 0 • ∗ · · · ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ˜b2 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 • ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ˜b3 . . . . . . . . . . . . . . 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 • ∗ · · · ∗ ˜br 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 0 0 · · · 0 ˜b r+1 ⎟ . . . . . . . . . . . . . . ⎠ 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 0 0 · · · 0 ˜bm
1.7 Lineare Gleichungssysteme 27 Beispiel 1.7.1 (A| ⃗ b) = → → → → ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 2 −1 2 1 1 −2 3 4 2 2 2 −4 8 9 0 3 −1 2 −5 −6 5 4 1 −2 3 4 2 2 0 0 2 −1 2 1 2 −4 8 9 0 3 −1 2 −5 −6 5 4 ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ 1 −2 3 4 2 2 0 0 2 −1 2 1 0 0 2 1 −4 −1 0 0 −2 −2 7 6 1 −2 3 4 2 2 0 0 2 −1 2 1 0 0 0 2 −6 −2 0 0 0 −3 9 7 1 −2 3 4 2 2 0 0 2 −1 2 1 0 0 0 2 −6 −2 0 0 0 0 0 4 Zeile 1 und Zeile 2 vertauschen ⎟ ⎠ −2 × Zeile 1 +Zeile 1 ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎠ − Zeile 2 +Zeile 2 + 3 2 × Zeile 3 II. Lösbarkeitsentscheidung (entfällt für ⃗ b = ⃗0) Ist eine der Zahlen ˜b r+1 , . . . , ˜b m von Null verschieden, etwa nach Zeilenvertauschung ˜b r+1 ≠ 0, dann ist das Gleichungssystem nicht lösbar. Denn die (r + 1)-te Gleichung ergibt den Widerspruch 0x 1 + . . . + 0x n = ˜b r+1 ≠ 0. Beispiel 1.7.2 Das angebene Gleichungssystem ist nicht lösbar. Ersetzen wir allerdings b 4 = 4 durch b 4 = 0, so ist das Gleichungssystem lösbar. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 0 2 −1 2 1 1 −2 3 4 2 2 ⎜ 1 −2 3 4 2 2 ⎟ ⎝ 2 −4 8 9 0 3 ⎠ → ⎜ 0 0 2 −1 2 1 ⎟ ⎝ 0 0 0 2 −6 −2 ⎠ −1 2 −5 −6 5 0 0 0 0 0 0 0 III. Rückwärtssubstitution Dazu betrachten wir zunächst wieder das
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26 Kapitel 1. Lineare Algebra I<br />
I. Vorwärtselimination<br />
1. Eliminationsschritt<br />
Ist a 11 ≠ 0?<br />
Wenn nein: Suche in der 1. Spalte von A ein Element a k1 ≠ 0 und vertausche<br />
die k-te Zeile mit der ersten. (Sind alle Elemente der 1. Spalte gleich 0, so<br />
beginne man statt mit der ersten Spalte mit der ersten anderen Spalte, die<br />
nicht nur lauter Nullen enthält.)<br />
Wenn ja:<br />
Subtrahiere das a i1<br />
a 11<br />
-fache der 1. Zeile von der i-ten Zeile (i = 2, . . . , m)<br />
Ergebnis:<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0 · · · 0 • ∗ · · · ∗ ∗ · · · ∗ ∗<br />
0 · · · 0 0 0 · · · 0 ∗ · · · ∗ ∗<br />
.<br />
. .. . . . . .. . . . .. . .<br />
0 · · · 0 0 0 · · · 0 ∗ · · · ∗ ∗<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
• ̸= 0<br />
∗ = beliebig<br />
2. Eliminationsschritt<br />
Wende das gleiche Verfahren auf die eingezeichnete Restmatrix an.<br />
usw.<br />
.<br />
Verfahren bricht ab, wenn folgende Matrix erreicht ist (Zeilenstufenform):<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎞<br />
0 · · · 0 • ∗ · · · ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ˜b1<br />
0 · · · 0 0 0 · · · 0 • ∗ · · · ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ˜b2<br />
0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 • ∗ ∗ ∗ · · · ∗ ˜b3<br />
. . . . . . . . . . . . . .<br />
0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 • ∗ · · · ∗ ˜br<br />
0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 0 0 · · · 0 ˜b r+1<br />
⎟<br />
. . . . . . . . . . . . . . ⎠<br />
0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 0 0 0 · · · 0 ˜bm
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