Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...
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1.7 Lineare Gleichungssysteme 25<br />
Wir wollen uns nun mit der Lösung eines solchen Gleichungssystems befassen.<br />
Die Lösungsmenge ist gleich<br />
L(A| ⃗ b) := {⃗x ∈ R n | A⃗x = ⃗ b}.<br />
Man kann diese Lösungsmenge mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus ermitteln.<br />
Dieses Verfahren wollen wir nun darstellen.<br />
Gaußscher Algorithmus<br />
Anstelle der Koeffizientenmatrix A betrachtet man die erweiterte Koeffizientenmatrix<br />
⎛<br />
⎞<br />
a 11 a 12 · · · a 1n b 1<br />
(A| ⃗ a 21 a 22 · · · a 2n b 2<br />
b) := ⎜<br />
⎝<br />
.<br />
. . ..<br />
⎟ . . ⎠ .<br />
a m1 a m2 · · · a mn b m<br />
Der Gaußsche Algorithmus basiert darauf, dass die folgenden Umformungen<br />
nichts an der Lösungsmenge eines Gleichungssystems ändern:<br />
1. Vertauschung zweier Gleichungen.<br />
2. Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl λ ≠ 0.<br />
3. Addition (bzw. Subtraktion) des Vielfachen einer Gleichung zu (bzw.<br />
von) einer anderen.<br />
Diesen Gleichungsumformungen entsprechen die folgenden elementaren Zeilenumformungen<br />
der Matrix (A| ⃗ b):<br />
1. Vertauschung zweier Zeilen<br />
2. Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl λ ≠ 0.<br />
3. Addition (bzw. Subtraktion) des λ-fachen einer Zeile zu (bzw. von)<br />
einer anderen.<br />
Das Gauß-Verfahren besteht aus drei Teilen:<br />
I. Vorwärtselimination.<br />
II. Lösbarkeitsentscheidung (nur für ⃗ b ≠ ⃗0)<br />
III. Rückwärtssubstitution