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Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

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1.7 Lineare Gleichungssysteme 25<br />

Wir wollen uns nun mit der Lösung eines solchen Gleichungssystems befassen.<br />

Die Lösungsmenge ist gleich<br />

L(A| ⃗ b) := {⃗x ∈ R n | A⃗x = ⃗ b}.<br />

Man kann diese Lösungsmenge mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus ermitteln.<br />

Dieses Verfahren wollen wir nun darstellen.<br />

Gaußscher Algorithmus<br />

Anstelle der Koeffizientenmatrix A betrachtet man die erweiterte Koeffizientenmatrix<br />

⎛<br />

⎞<br />

a 11 a 12 · · · a 1n b 1<br />

(A| ⃗ a 21 a 22 · · · a 2n b 2<br />

b) := ⎜<br />

⎝<br />

.<br />

. . ..<br />

⎟ . . ⎠ .<br />

a m1 a m2 · · · a mn b m<br />

Der Gaußsche Algorithmus basiert darauf, dass die folgenden Umformungen<br />

nichts an der Lösungsmenge eines Gleichungssystems ändern:<br />

1. Vertauschung zweier Gleichungen.<br />

2. Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl λ ≠ 0.<br />

3. Addition (bzw. Subtraktion) des Vielfachen einer Gleichung zu (bzw.<br />

von) einer anderen.<br />

Diesen Gleichungsumformungen entsprechen die folgenden elementaren Zeilenumformungen<br />

der Matrix (A| ⃗ b):<br />

1. Vertauschung zweier Zeilen<br />

2. Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl λ ≠ 0.<br />

3. Addition (bzw. Subtraktion) des λ-fachen einer Zeile zu (bzw. von)<br />

einer anderen.<br />

Das Gauß-Verfahren besteht aus drei Teilen:<br />

I. Vorwärtselimination.<br />

II. Lösbarkeitsentscheidung (nur für ⃗ b ≠ ⃗0)<br />

III. Rückwärtssubstitution

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