Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

1.7 Lineare Gleichungssysteme 23
Damit haben wir die folgenden Darstellungen einer komplexen Zahl:
• Darstellung in kartesischen Koordinaten: z = x + iy
• Darstellung in Polarkoordinaten: z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
• Eulersche Darstellung: z = re iϕ
Beispiel 1.6.1 Die verschiedenen Darstellungen der Zahl z = 1 + i:
1 + i = √ (
2 cos π 4 + i sin π )
= √ 2e i π 4 .
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Definition Es sei b ≠ 0 eine komplexe Zahl. Unter einer n-ten Wurzel von
b versteht man eine Lösung z der Gleichung z n = b.
Ist b = re iϕ mit r > 0, so sind
alle n-ten Wurzeln von b.
a k = n√ re i ϕ+2πk
n , k = 0, 1, . . . , n − 1,
1.7 Lineare Gleichungssysteme
Definition
Ein lineares Gleichungssystem ist ein Gleichungssystem der Form
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2
a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b m .
Dabei sind die a ij und die b i reelle Zahlen und gesucht ist die Menge der
(x 1 , . . . , x n ) ∈ R n , die alle Gleichungen erfüllen.
Dieses System wollen wir nun zunächst übersichtlicher aufschreiben. Die
Koeffizienten a ij schreibt man in einem rechteckigen Schema
⎛
A := ⎜
⎝
⎞
a 11 a 12 · · · a 1n
a 21 a 22 · · · a 2n
. .
..
⎟ . . ⎠ .
a m1 a m2 · · · a mn
.
.
.