Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

22 Kapitel 1. Lineare Algebra I
Daraus folgt
Also gilt
Re(z 1 z 2 ) ≤ |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 | = |z 1 ||z 2 |.
|z 1 + z 2 | 2 = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 )
= z 1 z 1 + z 1 z 2 + z 2 z 1 + z 2 z 2
= |z 1 | 2 + 2Re(z 1 z 2 ) + |z 2 | 2
≤ |z 1 | 2 + 2|z 1 ||z 2 | + |z 2 | 2
= (|z 1 | + |z 2 |) 2 .
Wurzelziehen liefert wieder die Behauptung.
✷
Definition Es sei z = x + iy, r := |z| und ϕ der Winkel von z mit der
positiven x-Achse. Dann nennt man ϕ das Argument der komplexen Zahl z
und
z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
die Darstellung der Zahl in Polarkoordinaten.
Es seien z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ), z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ). Aus den
Additionstheoremen für sin und cos folgt:
z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 )(cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 )
Also gilt:
= r 1 r 2 [(cos ϕ 1 cos ϕ 2 − sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) + i(cos ϕ 1 sin ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ 2 )]
= r 1 r 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 ))
z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 ))
Zwei komplexe Zahlen werden multipliziert, indem man ihre Beträge multipliziert
und und ihre Argumente addiert. Es gilt:
1
z = 1 (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)), z ≠ 0
r
z 1
z 2
= r 1
r 2
(cos(ϕ 1 − ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 − ϕ 2 )), z 2 ≠ 0
Satz 1.6.3 (Formel von Moivre)
z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
Definition (Eulerformel)
e iϕ := cos ϕ + i sin ϕ