Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

1.6 Komplexe Zahlen 21
Definition
Es sei z = x + iy.
• Re(z) := x heißt Realteil von z.
• Im(z) := y heißt Imaginärteil von z.
• ¯z := x − iy heißt die zu z konjugiert komplexe Zahl.
• |z| := √ x 2 + y 2 = √ z¯z heißt der Betrag von z.
Zwei komplexe Zahlen z und z ′ sind also genau dann gleich, wenn Re(z) =
Re(z ′ ) und Im(z) = Im(z ′ ) gilt. In der Gaußschen Zahlenebene entspricht die
x-Achse der reellen Achse und die y-Achse der imaginären Achse. In der
Gaußschen Zahlenebene entsteht ¯z aus z durch Spiegelung an der reellen
Achse. Aus der Definition folgt
Re(z) = 1 (z + ¯z),
2 Im(z)
= 1 (z − ¯z).
2i
Einfach nachzurechnen sind folgende Rechenregeln für die Konjugation:
Satz 1.6.1 Für alle z, z 1 , z 2 ∈ C gilt
(a) ¯z = z.
(b) z 1 + z 2 = z 1 + z 2 .
(c) z 1 z 2 = z 1 · z 2 .
Für z ∈ R stimmt der Betrag mit dem Absolutbetrag für reelle Zahlen
überein. Für alle z ∈ C gilt |z| = |¯z|.
Satz 1.6.2 Für alle z, z 1 , z 2 ∈ C gilt
(a) |z| ≥ 0; |z| = 0 ⇔ z = 0.
(b) |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 |.
(c) |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | (Dreiecksungleichung).
Beweis. (a) ist klar.
Zu (b): Nach Definition des Betrags ist
|z 1 z 2 | 2 = (z 1 z 2 )(z 1 z 2 ) = z 1 z 2 z 1 z 2 = (z 1 z 1 )(z 2 z 2 ) = |z 1 | 2 |z 2 | 2 .
Wurzelziehen liefert die Behauptung.
Zu (c): Für jede komplexe Zahl z gilt
Re(z) ≤ |z|.