Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

1.5 Geraden und Ebenen 19
Umrechnung Parameterform in Koordinatenform
Es seien ⃗v und ⃗w linear unabhängig und E = ⃗u + R⃗v + R⃗w. Wir betrachten
den Vektor
⃗a = (a 1 , a 2 , a 3 ) := ⃗v × ⃗w.
Nach Satz 1.4.3 gilt (a 1 , a 2 , a 3 ) ≠ (0, 0, 0). Es sei ⃗x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ E, ⃗x =
⃗u + λ⃗v + µ⃗w. Dann gilt
⃗a · ⃗x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = ⃗a · ⃗u.
und
E = {⃗x ∈ R 3 | a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = ⃗a · ⃗u}.
Definition Es sei E = ⃗u + R⃗v + R⃗w eine Ebene. Ein Vektor ⃗n mit |⃗n| = 1
und ⃗n ⊥ (⃗x − ⃗u) für alle ⃗x ∈ E heißt ein Einheitsnormalenvektor von E.
Nach Satz 1.4.1 ist der Vektor
⃗v × ⃗w
|⃗v × ⃗w| = 1
⃗v × ⃗w
|⃗v × ⃗w|
ein Einheitsnormalenvektor der Ebene E = ⃗u + R⃗v + R⃗w.
Wir können nun auch Geraden im R 3 betrachten.
Definition
Für ⃗v, ⃗w ∈ R 3 mit ⃗w ≠ ⃗0 definieren wir
⃗v + R⃗w := {⃗x = ⃗v + λ⃗w | λ ∈ R}.
Diese Menge heißt Gerade (in Parameterform) im R 3 .
Warnung Um eine Gerade im R 3 in Koordinatenform zu beschreiben, benötigt
man zwei Gleichungen, denn eine Gerade im R 3 ist der Schnitt von zwei
Ebenen.
Wir betrachten nun den Abstand eines Punktes von einer Geraden oder
einer Ebene. Ist L = ⃗v + R⃗w und ⃗y ∈ R 3 , so definieren wir
d(⃗y, L) = min d(⃗y, ⃗x).
⃗x∈L
Dann gilt
d(⃗y, L) =
|(⃗v − ⃗y) × ⃗w|
|⃗w|