Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

18 Kapitel 1. Lineare Algebra I
Dann gilt:
L = {(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 | a 1 x 1 + a 2 x 2 = b}.
Nun betrachten wir den R 3 , den dreidimensionalen Anschauungsraum.
Dann definiert eine lineare Gleichung der Form
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b
mit (a 1 , a 2 , a 3 ) ≠ (0, 0, 0) keine Gerade mehr, sondern eine Ebene. denn ist
zum Beispiel a 3 ≠ 0, so können wir die Gleichung nach x 3 auflösen
x 3 = 1 a 3
(b − a 1 x 1 − a 2 x 2 ),
und wir sehen, dass dies eine Ebene definiert.
Definition Eine Teilmenge E ⊂ R 3 heißt Ebene (in Koordinatenform),
wenn es a 1 , a 2 , a 3 , b ∈ R mit (a 1 , a 2 , a 3 ) ≠ (0, 0, 0) gibt, so dass
E = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 | a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b}.
Definition Es seien ⃗u, ⃗v, ⃗w ∈ R 3 und die Vektoren ⃗v und ⃗w seien linear
unabhängig. Dann heißt
⃗u + R⃗v + R⃗w := {⃗x = ⃗u + λ 1 ⃗v + λ 2 ⃗w | λ 1 , λ 2 ∈ R}
eine Ebene (in Parameterform). Der Vektor ⃗u heißt Ortsvektor, die Vektoren
⃗v und ⃗w heißen die Richtungsvektoren der Ebene.
Umrechnung Koordinatenform in Parameterform
Es sei
E = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 | a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b}
und o.B.d.A. (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) a 3 ≠ 0. Setzt man
x 1 = λ 1 und x 2 = λ 2 in die Ebenengleichung ein, so erhält man
Wir setzen
x 3 = 1 a 3
(b − a 1 λ 1 − a 2 λ 2 ).
⃗u := (0, 0, b a 3
) (λ 1 = λ 2 = 0 gesetzt),
Dann gilt
⃗v := (1, 0, − a 1
a 3
)
⃗w := (0, 1, − a 2
a 3
)
(λ 1 = 1, λ 2 = 0, b = 0 gesetzt),
(λ 1 = 0, λ 2 = 1, b = 0 gesetzt).
E = ⃗u + R⃗v + R⃗w.