Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

1.5 Geraden und Ebenen 17
Definition Eine Teilmenge L ⊂ R 2 heißt Gerade (in Koordinatenform),
wenn es a 1 , a 2 , b ∈ R mit (a 1 , a 2 ) ≠ (0, 0) gibt, so dass
L = {(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 | a 1 x 1 + a 2 x 2 = b}.
Definition
Für ⃗v, ⃗w ∈ R 2 mit ⃗w ≠ ⃗0 definieren wir
⃗v + R⃗w := {⃗x = ⃗v + λ⃗w | λ ∈ R}.
Diese Menge heißt Gerade (in Parameterform). Der Vektor ⃗v heißt Ortsvektor
und ⃗w Richtungsvektor der Geraden L = ⃗v + R⃗w.
Umrechnung Koordinatenform in Parameterform
Es sei
L := {(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 | a 1 x 1 + a 2 x 2 = b}
mit (a 1 , a 2 ) ≠ (0, 0). Wir betrachten den Fall a 2 ≠ 0, der Fall a 1 ≠ 0 geht
analog. Wir lösen die Gleichung nach x 2 auf:
x 2 = 1 a 2
(b − a 1 x 1 ).
Wir setzen
Dann gilt
⃗v :=
⃗w :=
(0, b a 2
)
(
1, − a 1
a 2
)
(x 1 = 0 gesetzt),
(x 1 = 1, b = 0 gesetzt).
L = ⃗v + R⃗w.
Umrechnung Parameterform in Koordinatenform
Es sei nun L = ⃗v + R⃗w gegeben. Wir müssen eine Gleichung finden. Ist
⃗v = (v 1 , v 2 ) und ⃗w = (w 1 , w 2 ) mit w 1 ≠ 0, so überlegt man sich leicht, dass
folgende Gleichung gilt
Wir definieren daher
x 2 − v 2
= w 2
x 1 − v 1 w 1
⇔ w 2 x 1 − w 1 x 2 = w 2 v 1 − w 1 v 2 .
a 1 := w 2 , a 2 := −w 1 , b := w 2 v 1 − w 1 v 2 .