Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...
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16 Kapitel 1. Lineare Algebra I Der Betrag des Spatprodukts |[⃗a, ⃗ b,⃗c]| ist das Volumen V des von den Vektoren ⃗a, ⃗ b,⃗c aufgespannten Spats: V = Grundfläche × Höhe = | ⃗ b × ⃗c| ∣ ∣ ⃗a⃗b×⃗c = | ⃗ ⃗a · ( b × ⃗c| ⃗ ∣ b × ⃗c) ∣∣∣∣ ∣ | ⃗ ⃗ b × ⃗c b × ⃗c| 2 = |⃗a · ( ⃗ b × ⃗c)|. ⃗ b × ⃗c ✻ ✟ ✟✟✟✟✟ ✁ ✁ ⃗a ✁ ✁✁✕ ✁ ✁ ✁ ⃗c ✁ ✁✟ ✁ ✁ ✟✟✟✟✟✯ ✁ ✁✁ ✁ ✁ ✁ ✁✁ ✟ ✟✟✟✟✟ ✁ ✲✟✁ ✁ ✁ ✟✟✟✟✟ ⃗ b Für ⃗a = (a 1 , a 2 , a 3 ), ⃗ b = (b 1 , b 2 , b 3 ), ⃗c = (c 1 , c 2 , c 3 ) rechnen wir aus: [⃗a, ⃗ b,⃗c] = ⃗a · ( ⃗ b × ⃗c) = a 1 (b 2 c 3 − b 3 c 2 ) + a 2 (b 3 c 1 − b 1 c 3 ) + a 3 (b 1 c 2 − b 2 c 1 ) = a 1 b 2 c 3 − a 1 b 3 c 2 + a 2 b 3 c 1 − a 2 b 1 c 3 + a 3 b 1 c 2 − a 3 b 2 c 1 . Den letzten Ausdruck kürzen wir ab durch ∣ a 1 b 1 c 1 ∣∣∣∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣∣ b a 2 b 2 c 2 := a 2 c 2 ∣∣∣ ∣∣∣ b 1 − a 1 c 1 ∣∣∣ ∣∣∣ b ∣ b a 3 b 3 c 3 c 2 + a 1 c 1 ∣∣∣ 3 b 3 c 3 . 3 b 2 c 2 3 Merkregel: + + + ∣ a 1 b 1 c 1 ∣∣∣∣∣ ◗ ◗ ◗ a 1 b 1 a ◗◗◗ 2 b ◗◗◗ 2 c ◗◗◗ 2 a 2 b 2 ∣ a✑ ✑✑✑✸ 3 b 3 ✑ ✑✑✑✸ c 3 ✑ ✑✑✑✸ a 3 b 3 − − − 1.5 Geraden und Ebenen Wir betrachten zunächst Geraden im R 2 .
1.5 Geraden und Ebenen 17 Definition Eine Teilmenge L ⊂ R 2 heißt Gerade (in Koordinatenform), wenn es a 1 , a 2 , b ∈ R mit (a 1 , a 2 ) ≠ (0, 0) gibt, so dass L = {(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 | a 1 x 1 + a 2 x 2 = b}. Definition Für ⃗v, ⃗w ∈ R 2 mit ⃗w ≠ ⃗0 definieren wir ⃗v + R⃗w := {⃗x = ⃗v + λ⃗w | λ ∈ R}. Diese Menge heißt Gerade (in Parameterform). Der Vektor ⃗v heißt Ortsvektor und ⃗w Richtungsvektor der Geraden L = ⃗v + R⃗w. Umrechnung Koordinatenform in Parameterform Es sei L := {(x 1 , x 2 ) ∈ R 2 | a 1 x 1 + a 2 x 2 = b} mit (a 1 , a 2 ) ≠ (0, 0). Wir betrachten den Fall a 2 ≠ 0, der Fall a 1 ≠ 0 geht analog. Wir lösen die Gleichung nach x 2 auf: x 2 = 1 a 2 (b − a 1 x 1 ). Wir setzen Dann gilt ⃗v := ⃗w := (0, b a 2 ) ( 1, − a 1 a 2 ) (x 1 = 0 gesetzt), (x 1 = 1, b = 0 gesetzt). L = ⃗v + R⃗w. Umrechnung Parameterform in Koordinatenform Es sei nun L = ⃗v + R⃗w gegeben. Wir müssen eine Gleichung finden. Ist ⃗v = (v 1 , v 2 ) und ⃗w = (w 1 , w 2 ) mit w 1 ≠ 0, so überlegt man sich leicht, dass folgende Gleichung gilt Wir definieren daher x 2 − v 2 = w 2 x 1 − v 1 w 1 ⇔ w 2 x 1 − w 1 x 2 = w 2 v 1 − w 1 v 2 . a 1 := w 2 , a 2 := −w 1 , b := w 2 v 1 − w 1 v 2 .
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- Seite 63 und 64: 3.2 Folgen und Reihen 63 Satz 3.2.2
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16 Kapitel 1. Lineare Algebra I<br />
Der Betrag des Spatprodukts |[⃗a, ⃗ b,⃗c]| ist das Volumen V des von den Vektoren<br />
⃗a, ⃗ b,⃗c aufgespannten Spats:<br />
V = Grundfläche × Höhe<br />
= | ⃗ b × ⃗c| ∣ ∣ ⃗a⃗b×⃗c = | ⃗ ⃗a · (<br />
b × ⃗c|<br />
⃗ ∣<br />
b × ⃗c) ∣∣∣∣<br />
∣ | ⃗ ⃗ b × ⃗c<br />
b × ⃗c| 2<br />
= |⃗a · ( ⃗ b × ⃗c)|.<br />
⃗ b × ⃗c<br />
✻<br />
✟ ✟✟✟✟✟ ✁ ✁<br />
⃗a<br />
✁ ✁✁✕ ✁ ✁ ✁<br />
⃗c ✁<br />
✁✟ ✁ ✁<br />
✟✟✟✟✟✯<br />
✁ ✁✁ ✁ ✁ ✁ ✁✁<br />
✟ ✟✟✟✟✟<br />
✁<br />
✲✟✁ ✁ ✁<br />
✟✟✟✟✟<br />
⃗ b<br />
Für ⃗a = (a 1 , a 2 , a 3 ), ⃗ b = (b 1 , b 2 , b 3 ), ⃗c = (c 1 , c 2 , c 3 ) rechnen wir aus:<br />
[⃗a, ⃗ b,⃗c] = ⃗a · ( ⃗ b × ⃗c)<br />
= a 1 (b 2 c 3 − b 3 c 2 ) + a 2 (b 3 c 1 − b 1 c 3 ) + a 3 (b 1 c 2 − b 2 c 1 )<br />
= a 1 b 2 c 3 − a 1 b 3 c 2 + a 2 b 3 c 1 − a 2 b 1 c 3 + a 3 b 1 c 2 − a 3 b 2 c 1 .<br />
Den letzten Ausdruck kürzen wir ab durch<br />
∣ a 1 b 1 c 1 ∣∣∣∣∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣∣ b a 2 b 2 c 2 := a 2 c 2 ∣∣∣ ∣∣∣ b<br />
1 − a 1 c 1 ∣∣∣ ∣∣∣ b<br />
∣<br />
b<br />
a 3 b 3 c 3 c 2 + a 1 c 1 ∣∣∣<br />
3 b 3 c 3 .<br />
3 b 2 c 2<br />
3<br />
Merkregel:<br />
+ + + ∣ a 1 b 1 c 1 ∣∣∣∣∣<br />
◗ ◗ ◗ a 1 b 1<br />
a ◗◗◗ 2 b ◗◗◗<br />
2 c ◗◗◗<br />
2 a 2 b 2<br />
∣ a✑ ✑✑✑✸<br />
3 b 3 ✑ ✑✑✑✸ c 3 ✑ ✑✑✑✸ a 3 b 3<br />
− − −<br />
1.5 Geraden und Ebenen<br />
Wir betrachten zunächst Geraden im R 2 .
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