Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

1.4 Das Vektorprodukt im R 3 15
Der folgende Satz macht diese Definition etwas verständlicher.
Satz 1.4.2 Für ⃗x, ⃗y ∈ R n sind folgende Bedingungen gleichwertig:
(a) ⃗x, ⃗y sind linear abhängig.
(b) ⃗x = ⃗0 oder es gibt ein ρ ∈ R, so dass ⃗y = ρ⃗x.
(c) ⃗y = ⃗0 oder es gibt ein ρ ∈ R, so dass ⃗x = ρ⃗y.
Beweis.
(a) ⇒ (b): Sind ⃗x, ⃗y linear abhängig, so gibt es λ, µ ∈ R mit λ ≠ 0 oder µ ≠ 0, so dass
λ⃗x + µ⃗y = ⃗0. Ist µ = 0, so muss λ ≠ 0 sein. Aus λ⃗x = ⃗0 folgt dann aber ⃗x = ⃗0. Ist µ ≠ 0,
dann gilt
⃗y = − λ µ ⃗x,
also ⃗y = ρ⃗x mit ρ := −λ/µ.
(b) ⇒ (a): Ist ⃗x = ⃗0, so gilt 1⃗x + 0⃗y = ⃗0. Ist ⃗y = ρ⃗x, so gilt −ρ⃗x + ⃗y = ⃗0. In beiden
Fällen sind also ⃗x, ⃗y linear abhängig.
Der Beweis von (a) ⇔ (c) geht analog.
✷
Satz 1.4.3 Zwei Vektoren ⃗x, ⃗y ∈ R 3 sind genau dann linear abhängig, wenn
⃗x × ⃗y = ⃗0 gilt.
Beweis. ⇒: Die Vektoren ⃗x, ⃗y ∈ R 3 seien linear abhängig. Aus Satz 1.4.2 folgt, dass dann
⃗x = ⃗0 gilt oder es ein ρ ∈ R gibt, so dass ⃗y = ρ⃗x. Ist ⃗x = ⃗0, so gilt
Ist ⃗y = ρ⃗x, so gilt nach Satz 1.4.1
⃗x × ⃗y = ⃗0 × ⃗y = ⃗0.
⃗x × ⃗y = (ρ⃗y) × ⃗y = ρ(⃗y × ⃗y) = ⃗0.
⇐: Es sei ⃗x × ⃗y = ⃗0. Ist ⃗x = ⃗0 oder ⃗y = ⃗0, so sind ⃗x, ⃗y nach Satz 1.4.2 linear abhängig.
Es sei also ⃗x ≠ ⃗0 und ⃗y ≠ ⃗0. Nach Korollar 1.4.1 gilt
0 = |⃗x × ⃗y| = |⃗x||⃗y| sin ∠(⃗x, ⃗y).
Ist θ := ∠(⃗x, ⃗y), so folgt sin θ = 0, also θ = 0 oder θ = π. Das bedeutet aber, dass es ein
ρ ∈ R gibt, so dass ⃗y = ρ⃗x. Nach Satz 1.4.2 sind ⃗x, ⃗y daher linear abhängig.
✷
Das Spatprodukt [⃗a, ⃗ b,⃗c] der drei Vektoren ⃗a, ⃗ b,⃗c ∈ R 3 ist defi-
Definition
niert durch
[⃗a, ⃗ b,⃗c] := ⃗a · ( ⃗ b × ⃗c).