Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

134 Kapitel 6. Potenzreihen
Integration
Wir betrachten das elliptische Integral
F (ϕ, k) =
∫ ϕ
0
dt
√
1 − k2 sin 2 t
(0 ≤ k 2 < 1).
Der Integrand besitzt keine Stammfunktion unter den elementaren Funktionen.
Wir behelfen uns dadurch, dass wir das Integral näherungsweise berechnen.
Dazu stellen wir den Integrand als Potenzreihe dar und integrieren dann
gliedweise. Mit x = −k 2 sin 2 t ergibt die binomische Reihe mit α = − 1 2 :
1
√
1 − k2 sin 2 t = 1 + 1 2 k2 sin 2 t + 3 8 k4 sin 4 t + 5 16 k6 sin 6 t + . . .
⇒
F (ϕ, k) = ϕ + 1 ∫ ϕ
2 k2 sin 2 tdt + 3 ∫ ϕ
8 k4 sin 4 tdt + 5 ∫ ϕ
16 k6 sin 6 tdt + . . .
Speziell für ϕ = π 2 :
( π
)
K(k) := F
2 , k = π 2
0
0
(
1 + 1 4 k2 + 9 64 k4 + 25 )
256 k6 + . . . , |k| < 1.
0