Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

6.4 Taylorreihen 133
Anwort. p(x) lässt sich um jeden Punkt a ∈ R in die Taylor-Reihe
p(x) = p(a) + p ′ (a)(x − a) + . . . + p(n) (a)
(x − a) n
n!
entwickeln. (Denn: p (n+1) (x) = 0 ⇒ R n+1 (x, a) = 0 ⇒ p(x) = T n (x, a) für
alle x.)
Wie findet man nun Reihenentwicklungen?
(a) Mit der Taylor-Formel und dem Nachweis R n (x, a) → 0. Im Allgemeinen
ungeschickt.
(b) Bekannte Reihen differenzieren oder integrieren. Beispiele haben wir
schon gesehen, vgl. Übungsaufgabe 6.3.1.
(c) Als Summe oder Produkt von Funktionen mit bekannter Reihenentwicklung
darstellen.
Beispiel 6.4.4
Entsprechend
cosh x = 1 2 (ex + e −x )
= 1 )
(1 + x + x2
2 2! + x3
3! . . . + 1 − x + x2
2! − x3
3! ± . . .
= 1 + x2
2! + x4
4! + x6
+ . . . (x ∈ R).
6!
sinh x = x + x3
3! + x5
5! + x7
+ . . . (x ∈ R).
7!
Zum Abschluss wollen wir noch zwei Anwendungsbeispiele darstellen.
Grenzwertberechnungen
sin x
lim
x→0 x
x − x3
= lim 3! + x5
5! − x7
7! ± . . .
x→0
(
x
)
= lim 1 − x2
x→0 3! + x4
5! − x6
7! ± . . . = 1.