Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

132 Kapitel 6. Potenzreihen
Beispiel 6.4.3 Man betrachte die Funktion
f(x) :=
{
e
− 1
x 2 falls x ≠ 0,
0 falls x = 0.
Wegen f (k) (0) = 0 für alle k ≥ 0 ist dieTaylor-Reihe von f um 0 die Nullreihe,
aber f(x) ≠ 0 für x ≠ 0.
Durch die Taylor-Formel erhalten wir eine notwendige und hinreichende
Bedingung dafür, dass f durch die zugehörige Taylor-Reihe dargestellt wird:
Die Taylor-Formel lautet:
Also gilt
Also erhalten wir:
f(x) = T n (x, a) + R n+1 (x, a).
f(x) = lim
n→∞
T n (x, a) ⇔ lim
n→∞
R n (x, a) = 0.
Satz 6.4.4 (Taylor-Entwicklung) Es sei f : I → R beliebig oft differenzierbar,
a ∈ I. Dann konvergiert die Taylor-Reihe von f um a genau für
diejenigen x ∈ I gegen f(x), d.h. es gilt
f(x) =
∞∑
k=0
f (k) (a)
(x − a) k ,
k!
für die das Restglied
mit n → ∞ gegen 0 strebt.
R n (x, a) = f (n) (ξ)
(x − a) n
n!
Bemerkung 6.4.1 Eine hinreichende Bedingung für lim n→∞ R n (x, a) = 0
ist: Es gibt Konstanten A, B, so dass für alle x ∈ I und alle n ∈ N
|f (n) (x)| ≤ AB n
gilt. (Denn dann gilt: |R n (x, a)| ≤ A Bn
n! (x − a)n → 0 für n → ∞.)
Frage. Wie sieht die Taylor-Reihe eines Polynoms p(x) = a 0 +a 1 x+. . .+a n x n
aus?