Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

6.4 Taylorreihen 131
Folgerungen aus der Taylor-Formel
Übungsaufgabe 6.4.2 Es sei I eine offenes Intervall, f : I → R eine (n+1)-
mal stetig differenzierbare Funktion mit f (n+1) (x) = 0 für alle x ∈ I. Welche
Gestalt hat f?
Lösung f ist ein Polynom vom Grad ≤ n. Denn für das Lagrangesche Restglied
folgt R n+1 (x, a) = 0, also f(x) = T n (x, a) für a ∈ I.
Satz 6.4.3 (3. Extremwerttest) Es sei f : I → R n-mal stetig differenzierbar,
a ∈ I, und es gelte
Dann gilt
f ′ (a) = f ′′ (a) = . . . = f (n−1) (a) = 0, f (n) (a) ≠ 0.
(a) a Extremstelle ⇔ n gerade.
{ } < 0
(b) n gerade, f (n) (a) ⇒ a lokale
> 0
{ Maximalstelle
Minimalstelle
}
.
Beweis. Die Taylor-Formel lautet in diesem Fall:
f(x) = f(a) + f (n) (ξ)
(x − a) n .
n!
Daraus liest man die Behauptungen des Satzes ab.
✷
Es sei nun f eine auf dem offenen Intervall I ⊆ R beliebig oft differenzierbare
Funktion, a ∈ I. Dann kann man zu f die Taylor-Reihe um a bilden:
∞∑
k=0
Zwei Fragen müssen geklärt werden:
f (k) (a)
(x − a) k .
k!
1. Für welche x konvergiert die Taylor-Reihe?
2. Wenn die Taylor-Reihe für ein x ∈ I konvergiert, konvergiert sie dann
gegen f(x)?
Warnung Es ist möglich, dass die Taylor-Reihe nur für für x = a konvergiert.
Es ist auch möglich, dass die Taylor-Reihe eine von f(x) verschiedene
Summe besitzt.