Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

130 Kapitel 6. Potenzreihen
Deutung der Taylor-Formel
Durch f(a), f ′ (a), . . . , f (n) (a) wird ein Polynom
p(x) = T n (x, a) = f(a) + f ′ (a)(x − a) + . . . + f (n) (a)
(x − a) n
n!
bestimmt, das f in einer Umgebung des Punktes x = a gut approximiert:
Das Restglied
p (k) (a) = f (k) (a) für 0 ≤ k ≤ n.
R n+1 (x, a) = f(x) − T n (x, a)
ist der Fehler, der hierbei gemacht wird.
Durch Kenntnis des Restglieds kann man diesen Fehler abschätzen:
Beispiel 6.4.1
e x = 1 + x + x2
2! + . . . + xn
n! + e ξ
(n + 1)! xn+1 (a = 0).
Für |x| ≤ 1 ergibt sich die Abschätzung
∣ ex − 1 − x − . . . − xn
n! ∣ =
(ξ zwischen 0 und x!)
e ξ
(n + 1)! |x|n+1 ≤
e
(n + 1)! |x|n+1
Übungsaufgabe 6.4.1 Bei vorgebener Fehlertoleranz ±ε ist n (in Abhängigkeit
von x) so zu bestimmen, dass |R n+1 (x, a)| ≤ ε gilt.
Lösung für ε = 10 −7 , x = 1
10 : n = 5 ( e 6! 10−6 < 10 −7 ).
Lösung für ε = 10 −7 , x = 1: n = 10 ( e
11! < 10−7 ).
Beispiel 6.4.2
sin x = x − x3
3! + x5
5! − x7
7! + sin ξ x 8 (a = 0).
8!
Für alle x ∈ R ergibt sich die Abschätzung
∣ ∣ x3
∣sin x − x +
3! − x5
5! + x7
∣∣∣ 7! ∣ = sin ξ ∣∣∣
x 8 ≤ 1 8! 8! |x|8 .
Je weiter wir von 0 weggehen, desto größer wird der Fehler!