Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

1.4 Das Vektorprodukt im R 3 13
1.4 Das Vektorprodukt im R 3
Wir wollen nun das Vektorprodukt einführen. Dies ist aber nur für Vektoren
aus dem R 3 definiert.
Definition Für Vektoren ⃗x = (x 1 , x 2 , x 3 ) und ⃗y = (y 1 , y 2 , y 3 ) aus R 3 ist das
Vektorprodukt ⃗x × ⃗y definiert durch
⃗x × ⃗y := (x 2 y 3 − x 3 y 2 , x 3 y 1 − x 1 y 3 , x 1 y 2 − x 2 y 1 ).
Man beachte, dass ⃗x × ⃗y wieder ein Vektor des R 3 ist. Um sich diese
Definition leichter merken zu können, geben wir noch eine Merkregel an. Wir
schreiben die Vektoren als Spaltenvektoren:
⎛
⃗x × ⃗y = ⎝
⎞
x 1
x 2
⎠ ×
x 3
⎛
⎝
⎞
y 1
y 2
⎠ =
y 3
⎛
⎝
⎞
x 2 y 3 − x 3 y 2
x 3 y 1 − x 1 y 3
⎠ .
x 1 y 2 − x 2 y 1
Wir erhalten die erste Komponente (Zeile) des Vektors ⃗x × ⃗y, indem wir die
erste Zeile abdecken und die Determinante
∣ x ∣
2 y 2 ∣∣∣
= x
x 3 y 2 y 3 − x 3 y 2
3
berechnen. Entsprechend ist die zweite Komponente gleich minus (!) der
Determinante, die man erhält, wenn man die zweite Zeile streicht. Schließlich
erhält man die dritte Komponente, indem man die dritte Zeile streicht und
die verbleibende Determinante ausrechnet.
Wir notieren nun einige Eigenschaften des Vektorprodukts.
Satz 1.4.1 (Eigenschaften des Vektorprodukts) (a) Für ⃗x, ⃗y, ⃗z ∈ R 3
und λ ∈ R gilt
(b) Für ⃗x, ⃗y ∈ R 3 gilt
(c) Für ⃗x, ⃗y ∈ R 3 gilt
(d) Für ⃗x, ⃗y ∈ R 3 gilt
(⃗x + ⃗y) × ⃗z = ⃗x × ⃗z + ⃗y × ⃗z,
⃗x × (⃗y + ⃗z) = ⃗x × ⃗y + ⃗x × ⃗z,
(λ⃗x) × ⃗y = λ(⃗x × ⃗y) = ⃗x × (λ⃗y).
(⃗x × ⃗y) · ⃗x = (⃗x × ⃗y) · ⃗y = 0.
|⃗x × ⃗y| 2 = |⃗x| 2 |⃗y| 2 − (⃗x · ⃗y) 2 .
⃗x × ⃗y = −⃗y × ⃗x und ⃗x × ⃗x = ⃗0.