Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

6.4 Taylorreihen 129
so sagt man: f lässt sich um a als Taylor-Reihe darstellen bzw. f lässt sich
um a in eine Taylor-Reihe entwickeln.
Um zu untersuchen, unter welchen Bedingungen sich eine gegebene Funktion
f um einen Punkt a als Taylor-Reihe darstellen lässt, betrachten wir die
Approximation von f durch Taylor-Polynome.
Definition
Das Polynom
T n (x, a) :=
n∑
k=0
f (k) (a)
(x − a) k
k!
heißt das n-te Taylor-Polynom von f um a.
Satz 6.4.2 (Taylor-Formel) Es sei I ⊆ R eine offenes Intervall, f : I →
R eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion, a, x ∈ I. Dann gilt
f(x) = f(a) + f ′ (a)
(x − a) + . . . + f (n) (a)
(x − a) n +R n+1 (x, a)
} 1! {{ n! }
T n(x,a)
mit dem Restglied
bzw.
R n+1 (x, a) = 1 n!
∫ x
a
(x − t) n f (n+1) (t)dt (Cauchy)
R n+1 (x, a) = f (n+1) (ξ)
(n + 1)! (x − a)n+1 mit ξ zwischen x und a (Lagrange)
Beweis.
f(x) = f(a) +
∫ x
a
f ′ (t)dt
= f(a) + f ′ (a)(x − a) +
(Hauptsatz)
∫ x
= f(a) + f ′ (a)(x − a) + f ′′ (a)
(x − a) 2 + 1 2!
2!
= usw.
a
(x − t)f ′′ (t)dt (Partielle Integration)
∫ x
a
(x − t) 2 f ′′′ (t)dt
Die Lagrangesche Form des Restglieds ergibt sich durch den Mittelwertsatz
der Integralrechnung.
✷