Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

128 Kapitel 6. Potenzreihen
6.4 Taylorreihen
Die Funktion f sei über (a − R, a + R) (R > 0) als Potenzreihe
f(x) =
∞∑
a k (x − a) k
k=0
mit Entwicklungspunkt a darstellbar. Dann kann man die Koeffizienten a k
wie folgt berechnen. Es gilt nach Satz 6.3.1:
f (n) (x) =
∞∑
k(k − 1) · · · (k − n + 1)a k (x − a) k−n
k=n
= n(n − 1) · · · 1a n + (n + 1)n · · · 2a n+1 (x − a) + . . . .
Setzen wir nun x = a, so erhalten wir f (n) (a) = n!a n oder umgeformt
Damit erhalten wir
a n = f (n) (a)
.
n!
Satz 6.4.1 (Koeffizientenvergleich) Aus
f(x) =
∞∑
a k (x − a) k =
k=0
∞∑
b k (x − a) k
k=0
für alle x ∈ (a − R, a + R) (R > 0) folgt
a k = b k = f (k) (a)
k!
(k = 0, 1, 2, . . .).
Wir versuchen nun, eine beliebig oft differenzierbare Funktion f über
einem Intervall (a−R, a+R) (R > 0) als Potenzreihe darzustellen. Satz 6.4.1
besagt: Wenn eine solche Darstellung überhaupt möglich ist, dann nur in der
Form
∞∑ f (k) (a)
f(x) = (x − a) k .
k!
k=0
Eine solche Reihe nennt man Taylor-Reihe zu der Funktion f um den Punkt
a (oder mit Entwicklungspunkt a). Gilt
f(x) =
∞∑
k=0
f (k) (a)
(x − a) k für a − R < x < a + R,
k!