Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

6.3 Reihenentwicklung der elementaren Funktionen 127
(4) α = − 1:
2
( ) −
1
2
0
= 1,
( ) −
1
2
k 1 · 3 · 5 · · · (2k − 1)
= (−1)
k
2 · 4 · 6 · · · (2k)
(k ≥ 1)
1
√ = 1 − 1 1 + x 2 x + 3 8 x2 − 5 16 x3 + 35
128 x4 ± . . . (|x| < 1).
Übungsaufgabe 6.3.1 Ermittle daraus durch Integrieren die Potenzreihendarstellung
von arcsin!
Lösung:
arcsin x =
∫
∫
dx
√ = 1 − x
2
(1 + 1 2 x2 + 3 8 x4 + 5 16 x6 + 35
128 x8 + . . .)dx
= x + 1 6 x3 + 3 40 x5 + 5
112 x7 + 35
9 · 128 x9 + . . .
Die Potenzreihen, die wir bisher betrachtet haben, sind Potenzreihen mit
dem Entwicklungspunkt 0. Allgemeiner definiert man
Definition
Eine unendliche Reihe der Form
∞∑
a k (x − a) k
k=0
heißt Potenzreihe mit dem Entwicklungspunkt (oder Zentrum) a. Die Zahlen
a k heißen die Koeffizienten dieser Potenzreihe.
Bisher hatten wir den Fall a = 0 betrachtet; diesen Fall erreicht man durch
die Substitution z := x − a:
∞∑
a k z k .
k=0
Als Konvergenzradius einer Potenzreihe mit dem Entwicklungspunkt a bezeichnet
man den Konvergenzradius R der entsprechenden Reihe mit Zentrum
0. Für das Konvergenzintervall M gilt
(a − R, a + R) ⊆ M ⊆ [a − R, a + R].
Das Konvergenzverhalten von Potenzreihen mit Entwicklungspunkt 0 überträgt
sich entsprechend auf Potenzreihen mit beliebigem Entwicklungspunkt.
Beispiel 6.3.2 Die Darstellung der e-Funktion als Potenzreihe mit Entwicklungspunkt
a folgt aus e x = e a e x−a :
∞∑
e x e a
=
k! (x − a)k , x ∈ R.
k=0