Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

126 Kapitel 6. Potenzreihen
Eine Verallgemeinerung:
Definition (Binomialreihe) Für α ∈ R
(1 + x) α =
∞∑
( α
x
k)
k α(α − 1)
= 1 + αx + x 2 α(α − 1)(α − 2)
+ x 3 + . . .
2!
3!
k=0 ( α α(α − 1)(α − 2) · · · (α − k + 1)
wobei := , |x| < 1.
k)
k!
Spezialfälle:
(1) α = n ∈ N:
( ( α n
= =
k)
k)
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
k!
= 0
für k > n, da der Zähler den Faktor (n − n) = 0 enthält. Damit erhält man
die binomische Formel.
(2) α = −1: Wegen
ergibt sich
( ) −1
=
k
(−1)(−1 − 1) · · · (−1 − k + 1)
k!
∞
1
1 + x = ∑
(−1) k x k für |x| < 1.
k=0
= (−1) k
Die geometrische Reihe ist also ein Spezialfall der binomischen Reihe.
(3) α = 1: 2
( 1
)
2
0
( 1
)
2
k
= 1,
=
1
2
(
1 1 − 1)
2 2
2!
( 1
)
2
= 1 ( 1
)
1 2 , 2
=
2
( 1 − 1) ( 1
− 2) · · · ( 1
− k + 1)
2 2 2
k!
= (−1) k−1 · 1 1 · 3 · 5 · · · (2k − 3)
·
2k k!
k−1 1 · 3 · 5 · · · (2k − 3)
= (−1) (k ≥ 2)
2 · 4 · 6 · · · (2k)
= − 1 8 ,
Also
√
1 + x = 1 +
1
2 x − 1 8 x2 + 1 16 x3 − 1
128 x4 ± . . . (|x| < 1).