Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

6.3 Reihenentwicklung der elementaren Funktionen 125
(gliedweises Integrieren). Insbesondere ist (mit a = 0, b = x) die Funktion
∞∑ a k
F (x) :=
k + 1 xk+1
k=0
eine Stammfunktion von f auf dem Intervall (−R, R), der Konvergenzradius
dieser Reihe ist ebenfalls R.
Mit Hilfe der obigen Sätze können wir nun die Potenzreihendarstellung
einiger Funktionen ermitteln.
Satz 6.3.3 (Reihenentwicklung einiger elementarer Funktionen)
(a) e x =
(b) sin x =
(c) cos x =
(d) ln(1 + x) =
(e) arctan x =
∞∑
k=0
∞∑
k=0
∞∑
k=0
∞∑
k=0
∞∑
k=0
Beweis. (a) nach Definition.
(b), (c):
1
k! xk = 1 + x + x2
2! + x3
+ . . ., x ∈ R,
3!
(−1) k
(2k + 1)! x2k+1 = x − x3
3! + x5
5! − x7
± . . ., x ∈ R,
7!
(−1) k
(2k)! x2k = 1 − x2
2! + x4
4! − x6
± . . ., x ∈ R,
6!
(−1) k
k + 1 xk+1 = x − x2
2 + x3
3 − x4
± . . ., |x| < 1,
4
(−1) k
2k + 1 x2k+1 = x − x3
3 + x5
5 − x7
± . . ., |x| < 1.
7
e ix = 1 + (ix) + (ix)2 + (ix)3 + (ix)4 + (ix)5
2! 3! ) 4! 5!
=
(1 − x2
2! + x4
4! − x6
6! ± . . . + i
= cos x + i sin x.
∞
1
(d) Integration von
1 + x = ∑
(−x) k , |x| < 1.
(e) Integration von
k=0
1
1 + x = ∑ ∞
(−x 2 ) k , |x| < 1.
2
k=0
+ (ix)6
6!
+ (ix)7
7!
(x − x3
3! + x5
5! − x7
7! ± . . . )
+ . . .
Eine weitere wichtige Reihe ist die Binomialreihe. Wir erinnern an die
binomische Formel
n∑
( n
(1 + x) n = x
k)
k n(n − 1)
= 1 + nx + x 2 + . . . + x n , n ∈ N.
2!
k=0
✷