Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

124 Kapitel 6. Potenzreihen
6.3 Reihenentwicklung der elementaren Funktionen
Wir wollen nun die Differentiation und Integration einer Potenzreihe betrachten.
Es sei ∑ ∞
k=0 a kx k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0 und
f(x) :=
∞∑
a k x k falls |x| < R.
k=0
Man sagt, die Funktion f wird auf (−R, R) durch die Potenzreihe dargestellt.
Satz 6.3.1 (Differentiation von Potenzreihen) Eine durch eine Potenzreihe
dargestellte Funktion f ist im offenen Konvergenzintervall (−R, R)
(R > 0) beliebig oft differenzierbar. Die Ableitungen erhält man durch gliedweises
Differenzieren:
f ′ (x) =
f ′′ (x) =
etc.
∞∑
ka k x k−1 = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + . . . ,
k=1
∞∑
k(k − 1)a k x k−2 = 2a 2 + 2 · 3a 3 x + 3 · 4a 4 x 2 + . . . ,
k=2
Die abgeleiteten Reihen ∑ ∞
k=1 ka kx k−1 , ∑ ∞
k=2 k(k − 1)a kx k−2 , . . . haben auch
den Konvergenzradius R.
Beispiel 6.3.1 Geometrische Reihe:
f(x) =
f ′ (x) =
f ′′ (x) =
∞∑
x k = 1 (|x| < 1),
1 − x
∞∑
kx k−1 1
= (|x| < 1),
(1 − x) 2
∞∑
k(k − 1)x k−2 1
= 2 (|x| < 1).
(1 − x) 3
k=0
k=1
k=2
Satz 6.3.2 (Integration von Potenzreihen) Es sei f(x) = ∑ ∞
k=0 a kx k
eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius R > 0. Für alle a, b ∈ (−R, R)
gilt
∫ b
∞∑
∫ b
∞∑
f(x)dx = a k x k a k
dx =
k + 1 (bk+1 − a k+1 )
a
k=0
a
k=0