Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

6.2 Konvergenzradius 123
Aufgrund von Satz 6.2.2 gibt es für die Konvergenzmenge M für R ≠ 0, ∞
die folgenden Möglichkeiten:
M = (−R, R), M = [−R, R), M = (−R, R], M = [−R, R],
denn über x = ±R werden keine Aussagen gemacht. Man nennt M das
Konvergenzintervall der Potenzreihe. In den Randpunkten x = −R und x =
R ist sowohl Divergenz als auch Konvergenz möglich, dies ist von Fall zu Fall
zu entscheiden.
∞∑
Beispiel 6.2.5 (1) Geometrische Reihe x k : M = (−1, 1), Divergenz
an beiden Randpunkten des Konvergenzintervalls.
∞∑
(2) (−1) k xk
: M = (−1, 1]. Die Reihe konvergiert für x = 1 nach dem
k
k=1
Leibnizkriterium, aber nicht für x = −1 (harmonische Reihe).
∞∑ x k
(3) : M = [−1, 1].
k2 k=1
Wie kann man den Konvergenzradius einer Potenzreihe berechnen? Z.B.
mit dem folgenden Satz:
Satz 6.2.3 Gilt a k ≠ 0 für k ≥ k 0 und lim k→∞
∣ ∣∣ a k
a k+1
∣ ∣∣ existiert oder ist ∞,
dann gilt
k=0
R = lim
k→∞
∣ ∣∣∣ a k
a k+1
∣ ∣∣∣
.
Beweis. Anwendung des Quotientenkriteriums:
∣ ∣ ∣ lim
a k+1 x k+1 ∣∣∣ ∣∣∣ a k ∣∣∣
k→∞
∣ < 1 ⇔ |x| < lim .
a k x k
k→∞ a k+1
Untersuchung der Beispiele
∣ ∣∣∣ 1
(1) R = lim
k→∞ 1∣ = 1.
∣ ∣∣∣
(2) R = lim − k + 1
k→∞ k ∣ = 1.
(3) R = lim
k→∞
∣ ∣∣∣ (k + 1) 2
k 2 ∣ ∣∣∣
= 1.
✷