Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

122 Kapitel 6. Potenzreihen
Es gilt
inf S = − sup{−x | x ∈ S}.
Damit besitzt auch jede nicht leere nach unten beschränkte Menge S ⊆ R
ein Infimum.
Beispiel 6.2.3 inf { 1
n
| n ∈ N \ {0}} = 0.
Definition
Es sei ∑ ∞
k=0 a kx k eine Potenzreihe. Setze
{
}
∞∑
M := x ∈ R
a k x k konvergiert .
∣
k=0
Dann heißt die Zahl
{ sup{|x| | x ∈ M}, falls M beschränkt,
R :=
∞, falls M unbeschränkt,
der Konvergenzradius der Potenzreihe.
Es gibt die drei Möglichkeiten
R = 0, 0 < R < ∞, R = ∞.
Beispiel 6.2.4 (1) Die Reihe ∑ ∞
k=0 k!xk hat den Konvergenzradius R = 0:
Sie konvergiert nur für x = 0, denn für x ≠ 0 ist k!x k keine Nullfolge.
Also ist M = {0}.
(2) Für die geometrische Reihe ∑ ∞
k=0 xk gilt M = {x | |x| < 1} = (−1, 1),
R = 1.
(3) Die Exponentialreihe ∑ ∞ x k
k=0
konvergiert nach §3.2 für alle x ∈ R, also
k!
M = R, R = ∞.
Satz 6.2.2 (Konvergenzverhalten von Potenzreihen) Für eine Potenzreihe
∑ ∞
k=0 a kx k mit dem Konvergenzradius R gilt:
(a) R = 0 ⇔ Die Reihe konvergiert nur für x = 0.
(b) Ist R > 0 und x ∈ R mit |x| < R, d.h. x ∈ (−R, R), so ist die Reihe
∑ ∞
k=0 a kx k absolut konvergent. Auf jedem abgeschlossenen Intervall
[−ρ, ρ] (0 < ρ < R) konvergiert die Reihe ∑ ∞
k=0 a kx k gleichmäßig.
(c) Für alle x mit |x| > R ist die Reihe ∑ ∞
k=0 a kx k divergent.