Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

6.2 Konvergenzradius 121
Es folgt dann für alle k
∣ ak x k∣ ∣ = |ak ||x 1 | k ∣ ∣∣∣ x
x 1
∣ ∣∣∣
k
≤ C ·
Es sei x ∈ R mit |x| < |x 1 |. Dann setze
∣ q :=
x ∣∣∣
∣ < 1.
x 1
∣ x ∣∣∣
k
∣ .
x 1
Dann ist die geometrische Reihe ∑ ∞
k=0 C · qk eine konvergente Majorante für
∑ ∞
k=0 |a kx k |. Aus dem Majorantenkriterium folgt daher:
Satz 6.2.1 Wenn die Potenzreihe ∑ ∞
k=0 a kx k für x = x 1 ≠ 0 konvergiert, so
konvergiert sie für jedes x mit |x| < |x 1 | sogar absolut.
Definition Eine Teilmenge S ⊆ R heißt nach oben beschränkt, wenn es ein
b ∈ R gibt mit S ⊆ (−∞, b]. Ein solches b heißt obere Schranke von S.
S ⊆ R heißt nach unten beschränkt, wenn es ein a ∈ R gibt mit S ⊆
[a, ∞). Ein solches a heißt untere Schranke von S.
S ⊆ R heißt beschränkt, wenn S eine untere Schranke a und eine obere
Schranke b besitzt, d.h. es existieren a, b ∈ R mit S ⊆ [a, b].
Es sei S ⊆ R nach oben beschränkt. Das Supremum von S, in Zeichen
sup S, ist die kleinste obere Schranke von S.
Warnung Das Supremum einer Menge S braucht nicht zu der Menge S zu
gehören: z.B. sup[a, b) = b. Aber zu jedem noch so kleinen ε > 0 gibt es ein
x ∈ S mit s − ε < x. (Denn sonst x ≤ s − ε für alle x ∈ S und s − ε wäre
kleinere obere Schranke.)
Beispiel 6.2.2 (1) sup[a, b] = b, sup[a, b) = b.
(2) sup { 1 − 1 | n ∈ N \ {0}} = 1.
n
(3) sup{x ∈ Q | x 2 < 2} = √ 2.
Es ist nicht selbstverständlich, dass es unter den oberen Schranken einer
nach oben beschränkten Menge eine kleinste obere Schranke gibt. Z.B. hat
die Menge {x ∈ Q | x 2 < 2} in Q keine kleinste obere Schranke. Eine der
Grundeigenschaften der reellen Zahlen ist:
Vollständigkeitsaxiom. Jede nicht leere nach oben beschränkte Menge reeller
Zahlen besitzt ein Supremum.
Definition Es sei S ⊆ R nach unten beschränkt. Das Infimum von S, in
Zeichen inf S, ist die größte untere Schranke von S.