Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

120 Kapitel 6. Potenzreihen
Beispiel 6.1.2 Die Reihe
∞∑
k=1
cos kx
k 2
konvergiert gleichmäßig (und absolut) auf R, denn es gilt
∣
cos kx
k 2 ∣ ∣∣∣
≤ 1 k 2 für alle x ∈ R und ∞
∑
6.2 Konvergenzradius
k=1
1
ist konvergent.
k2 In §3.2 haben wir Reihen studiert. Wir wollen nun Potenzreihen betrachten.
Definition
Eine Potenzreihe ist eine unendliche Reihe der Form
∞∑
a k x k
k=0
mit x ∈ R (das als variabel aufgefasst wird) und a k ∈ R (konstant). Die
Zahlen a k (k ≥ 0) heißen Koeffizienten der Potenzreihe.
Eine Potenzreihe ist eine Funktionenreihe ∑ ∞
k=0 f k mit f k (x) = a k x k .
Beispiel 6.2.1 (1) Die geometrische Reihe
∞∑
x k = 1 + x + x 2 + . . . .
k=0
Koeffizienten: a k = 1 (k ≥ 0).
(2) Die Exponentialreihe
∞∑
k=0
Koeffizienten: a k = 1 k!
(k ≥ 0).
x k
k! = 1 + x + x2
2! + x3
3! + x4
4! + . . . .
Die wichtigste Frage ist zunächst, für welche x eine Potenzreihe konvergiert.
Wir nehmen an, dass die Potenzreihe ∑ ∞
k=0 a kx k für x = x 1 ≠ 0
konvergiert. Dann bilden die Glieder eine Nullfolge, sind also insbesondere
beschränkt. Es gibt also eine Konstante C > 0, so dass für alle k ≥ 0 gilt:
∣ ak x k ∣
1 ≤ C.