Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

12 Kapitel 1. Lineare Algebra I
⃗a
✻
✒
✲
⃗a ⃗b
⃗a ⊥ ⃗ b
✲ ⃗ b
Zur Berechnung von ⃗a ⃗b bemerken wir:
Also gilt:
Es sei ⃗a ⊥ ⃗ b
⃗a ·⃗b
|⃗a ⃗b | = |⃗a| cos α = |⃗a|
|⃗a|| ⃗ b|
:= ⃗a − ⃗a ⃗b . Dann gilt
⃗a ⃗b =
=
⃗a ·⃗b
| ⃗ b|
(
⃗a · ⃗b ) ⃗b
| ⃗ b| | ⃗ b|
= ⃗a · ⃗b
| ⃗ b| .
⃗a ⊥ ⃗ b
= ⃗a −
⃗a ·⃗b
| ⃗ b| 2 ⃗ b
Zum Abschluss geben wir noch eine Anwendung.
Übungsaufgabe 1.3.1 Wir wollen die Entfernung zwischen zwei Orten A
und B bestimmen. Wir kennen nur die Entfernung zu einem dritten Ort C
und den Winkel α, den die Verbindungsgeraden AC und BC bilden.
Lösung: Wir legen den Ursprung unseres Koordinatensystems in den Punkt
C. Es sei ⃗x = A − C und ⃗y = B − C. Dann ist gesucht:
Nun rechnen wir:
d(⃗x, ⃗y) = |⃗y − ⃗x|.
|⃗y − ⃗x| 2 = (⃗y − ⃗x) · (⃗y − ⃗x)
Wir haben damit auch bewiesen:
= ⃗y · ⃗y − 2⃗x · ⃗y + ⃗x · ⃗x
= |⃗y| 2 − 2|⃗x||⃗y| cos α + |⃗x| 2 .
Satz 1.3.6 (Kosinussatz) Für zwei Vektoren ⃗x, ⃗y ∈ R n gilt:
|⃗y − ⃗x| 2 = |⃗y| 2 − 2|⃗x||⃗y| cos ∠(⃗x, ⃗y) + |⃗x| 2