Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

6.1 Gleichmäßige Konvergenz 119
aber ∫ 1
0 dx = 0.
0
Satz 6.1.3 (Differentiation der Grenzfunktion) Die Funktionenfolge (f n )
konvergiere punktweise gegen f, alle f n seien stetig differenzierbar auf dem
Intervall I und zusätzlich sei die Folge der Ableitungen (f ′ n) auf I gleichmäßig
konvergent. Dann ist auch die Grenzfunktion f differenzierbar und es gilt
Warnung
f ′ (x) = ( lim
n→∞
f n (x)) ′ = lim
n→∞
f ′ n(x).
Auch in Satz 6.1.3 sind alle Voraussetzungen wichtig!
Man kann nun auch Funktionenreihen ∑ ∞
k=0 f k betrachten.
Definition Eine Funktionenreihe ∑ ∞
k=0 f k heißt gleichmäßig konvergent,
wenn die Folge ihrer Partialsummen s n := f 0 + f 1 + . . . + f n gleichmäßig
konvergent ist.
Die Sätze 6.1.1, 6.1.2 und 6.1.3 übertragen sich auf Funktionenreihen:
Satz 6.1.4 Konvergiert die Reihe ∑ ∞
k=0 f k stetiger Funktionen f k auf I gleichmäßig
gegen f, dann ist die Grenzfunktion ebenfalls stetig.
Satz 6.1.5 Konvergiert die Reihe ∑ ∞
k=0 f k stetiger Funktionen f k auf I gleichmäßig
gegen f, dann gilt für alle a, b ∈ I
∫ b
a
(
∑ ∞
)
f k (x) dx =
k=0
∫ b
a
f(x)dx =
∞∑
(∫ b
k=0
a
)
f k (x)dx .
Satz 6.1.6 Konvergiert die Reihe ∑ ∞
k=0 f k stetig differenzierbarer Funktionen
f k auf I punktweise gegen f und ist die Reihe der Ableitungen ∑ ∞
k=0 f k
′
auf I gleichmäßig konvergent, dann gilt
( ∞ ′
∑
f ′ (x) = f k (x))
=
k=0
∞∑
f k(x).
′
k=0
Satz 6.1.7 (M-Test) Gegeben seien Funktionen f k : I → R, k ∈ N. Gilt
für jede der Funktionen f k (k ∈ N) eine Abschätzung
|f k (x)| ≤ M k (konst.) für alle x ∈ I
und konvergiert die Zahlenreihe ∑ ∞
k=0 M k, dann konvergiert die Funktionenreihe
∑ ∞
k=0 f k auf I gleichmäßig und absolut.