Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

118 Kapitel 6. Potenzreihen
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Satz 6.1.1 (Stetigkeit der Grenzfunktion) Die Funktionenfolge (f n ) konvergiere
gleichmäßig gegen f und alle f n seien stetig auf dem Intervall I.
Dann ist auch die Grenzfunktion f auf I stetig.
Warnung Das obige Beispiel zeigt, dass die punktweise Konvergenz für die
Stetigkeit der Grenzfunktion nicht ausreicht.
Satz 6.1.2 (Integration der Grenzfunktion) Die Funktionenfolge (f n ) konvergiere
gleichmäßig gegen f und alle f n seien stetig auf dem Intervall I.
Dann gilt für alle a, b ∈ I
∫ b
a
( lim
n→∞
f n (x))dx =
∫ b
a
f(x)dx = lim
n→∞
∫ b
a
f n (x)dx.
Warnung Satz 6.1.2 gilt nicht für punktweise Konvergenz: Für n ≥ 2 sei
f n : [0, 1] → R definiert durch
n
f n (x) := max { n − n 2 · ∣∣ }
x −
1 ∣ , 0
n
0 1 n
2
1
n
Die Funktionenfolge (f n ) konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion auf
[0, 1]. Es gilt
∫ 1
0
f n (x) dx = 1 für alle n ≥ 2,