Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

Kapitel 6
Potenzreihen
6.1 Gleichmäßige Konvergenz
Es sei I ⊆ R ein Intervall. Für jedes n ∈ N sei eine Funktion
f n : I → R
gegeben; dann nennen wir die Folge (f n ) n∈N eine in I erklärte Funktionenfolge.
Für festes x ∈ I entsteht aus der Funktionenfolge (f n ) durch Einsetzen
von x die Zahlenfolge (f n (x)).
Definition (a) Die Funktionenfolge (f n ) heißt punktweise konvergent gegen
die Grenzfunktion f, wenn für jedes x ∈ I die Zahlenfolge (f n (x)) gegen den
Grenzwert f(x) konvergiert.
(b) Die Funktionenfolge (f n ) heißt gleichmäßig konvergent gegen die Grenzfunktion
f, wenn sich zu jeder beliebig vorgegebenen kleinen Fehlerschranke
ε > 0 ein für alle x ∈ I gemeinsamer Index N, der nur von ε abhängt, finden
lässt, so dass gilt
n ≥ N ⇒ |f n (x) − f(x)| < ε für alle x ∈ I.
Anschaulich: Für n ≥ N liegen alle Graphen y = f n (x) im ”ε-Schlauch” um
den Graphen der Grenzfunktion y = f(x).
Beispiel 6.1.1 Es sei I = [0, 1] und f n (x) = x n . Die Funktionenfolge (f n ) ist
punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergent gegen die Funktion f wobei
{ 0 für 0 ≤ x < 1,
f(x) =
1 für x = 1.
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