Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

114 Kapitel 5. Integration
Z.B.
∫ 1 + e
t
∫
∫ ∫
1 − e dt = 1 + x dx 2dx
t (1 − x)x dx = x + 1 − x
= ln e t − 2 ln |1 − e t | + c.
Beispiel 5.5.4 Wir bezeichnen mit R(x, y) eine rationale Funktion in den
Variablen x und y. Der Ausdruck R(x, f(x)) bedeutet, das in R(x, y) die
Variable y durch f(x) ersetzt wird. Ein Integral der Form
∫ ( √ ) px + q
R x, k dx (ps − qr ≠ 0)
rx + s)
wird durch die
√ px + q
Substitution: t = k rx + s) , x = stk − q
ps − qr
, dx = ktk−1
p − rtk (p − rt k ) 2
zu einem Integral über eine rationale Funktion in t. Z.B.
∫ 1 −
√ x
x + √ x dx
=
(Substitution: t = √ x, x = t 2 , dx = 2tdt)
∫
∫ (∫ ∫
1 − t
1 − t
t 2 + t 2tdt = 2 1 + t dt = 2 (−1)dt +
= 4 ln( √ x + 1) − 2 √ x + c.
)
2
t + 1 dt
Beispiel 5.5.5 Wir betrachten ein Integral der Form ∫ R(sin x, cos x)dx.
Wir wenden die Substitutionsregel in der 2. Version an: Wir benennen die
Variablen um und betrachten das Integral
∫
R(sin t, cos t)dt.
Wir machen die Substitution
Es gilt
t = 2 arctan x, dt = 2
1 + x 2 dx.
t = 2 arctan x ⇔ tan t 2 = x ⇔ sin t 2
cos t 2
⇔
= x ⇔ 1 − cos t
1 + cos t = x2
cos t = 1 − x2
2x
, sin t =
1 + x2 1 + x , 2