Mathematik für Ingenieure I - Institut für Algebraische Geometrie ...

5.5 Partialbruchzerlegung 113
4. Schritt: Teilintegrale aufsummieren
Beispiel 5.5.2
1. Schritt: entfällt.
2. Schritt:
R(x) = 1
1 − x 2
1 A
=
1 − x 2 1 − x + B
1 + x
⇔ 1 = A(1 + x) + B(1 − x)
⇔ 1 = (A − B)x + (A + B)
∣ · (1 − x2 )
Daraus folgt A = B = 1 2 , also
3. Schritt: ∫
4. Schritt:
∫
1
1 − x = 1 1
2 2 1 − x + 1 1
2 1 + x .
1
1 − x dx = 1 (∫
2 2
= 1 (∫
2
1
dx = ln |x ± 1| + c.
x ± 1
∫
1
1 − x dx +
∫
1
x + 1 dx −
)
1
1 + x dx )
1
x − 1 dx
= 1 (ln |x + 1| − ln |x − 1|) + c
2
= 1 ∣ ∣∣∣
2 ln x + 1
x − 1∣ + c.
Durch Substitution kann man einige Integraltypen auf das Integral über
eine rationale Funktion zurückführen:
Beispiel 5.5.3 Es sei R eine rationale Funktion.
∫
∫
R(e x )dx = R(e t )dt
=
(Substitution t = ln x,
∫
R(x) · 1
x dx.
dt = 1 x dx)